王玉佩 張 超

(安徽省利辛縣第一中學(xué))

圓錐曲線中的存在與探索性問題能較全面地考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),備受命題者的青睞.因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課堂內(nèi)容多,時(shí)間緊,因此數(shù)學(xué)教師對存在性問題的變式研究比較少,所以學(xué)生們在考試中遇到這類題目的時(shí)候,往往會有無從下手的感覺.基于此本文以2022年八省八校聯(lián)考(T8聯(lián)考)第20題為例對圓錐曲線中存在性問題進(jìn)行了變式探究,通過實(shí)例分析,了解變式探究在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)中的作用,分析變式探究在日常教學(xué)中的應(yīng)用情況,認(rèn)識變式探究對分析問題、解決問題的價(jià)值和意義,旨在提升學(xué)生的創(chuàng)新能力,探索三新考向.

一、實(shí)例分析變式探究

下面以2022年八省八校聯(lián)考(T8聯(lián)考)第20題為例,引導(dǎo)學(xué)生通過改變題目的條件或結(jié)論等方式對新的結(jié)論進(jìn)行探究,探索試題的本質(zhì),提升考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng).下面分別從存在問題中角度型、向量型、面積型、直線型等類型加以探析.

【母題】(2022·八省八校聯(lián)考(T8聯(lián)考)·20)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

【試題分析】

考查能力:數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想.

思維引導(dǎo):(1)根據(jù)橢圓的離心率及圓的幾何性質(zhì)求出a,b,即可求解.

(2)首先設(shè)直線方程,然后利用韋達(dá)定理求解即可.注意驗(yàn)證Δ>0.

【解析】

設(shè)點(diǎn)F1,F2關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)分別為M,N,由對稱性易知,線段MN為圓C的一條直徑,

所以|F1F2|=|MN|=2,即2c=2,即c=1,

(Ⅱ)不存在.理由如下:因?yàn)樵c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),圓心C為線段MN的中點(diǎn),直線l為線段OC的垂直平分線,所以點(diǎn)O與C也關(guān)于直線l對稱,

因?yàn)辄c(diǎn)C(2m,4m),

又直線l為線段OC的垂直平分線,

不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

整理得4x2-10mx+25m2-12=0.

且Δ=100m2-16(25m2-12)>0,

所以kAC+kBC

得2x1x2-m(x1+x2)-4m2=0,

【評注】此題第(Ⅰ)問入口較難,對考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高.通過第(Ⅰ)問也提醒我們教學(xué)中不能形成思維定勢,教學(xué)中要注重提升學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新力,以便應(yīng)對反套路的陌生試題.

該問有部分學(xué)生容易忽略判別式Δ>0驗(yàn)證所計(jì)算的結(jié)果,最終容易導(dǎo)致誤判.

【變式思路】該題第(Ⅰ)問非常靈活,符合“新課程,新教材,新高考”的新要,該試題源于教材又高于教材且能有效起到試題選拔功能.

第(Ⅱ)問則主要考查學(xué)生運(yùn)算水平,解題方法相對比較單一,不能很好體現(xiàn)“三新”要求的既要重計(jì)算,又要重思維的選拔理念.所以筆者就想能不能設(shè)置一個(gè)問題兼顧計(jì)算、思維的訓(xùn)練.基于此本文從不同角度對試題進(jìn)行變式探究.

【變式意義】變式后的問題力求能實(shí)現(xiàn)一題多解,同時(shí)兼顧計(jì)算、思維訓(xùn)練.從而實(shí)現(xiàn)試題改編后對不同層次考生都有選拔的目的,同時(shí)通過變式研究提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

基于此,下面筆者嘗試從不同角度對試題進(jìn)行變式研究.

【變式1】(知識變式)存在性問題之雙曲線型

(Ⅰ)求雙曲線E的方程;

【解析】

設(shè)點(diǎn)F1,F2關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)分別為M,N,易知線段MN為圓C的一條直徑,

所以|F1F2|=|MN|=4,即2c=4,即c=2.

于是a2=b2=2,

(Ⅱ)不存在.理由如下:因?yàn)樵c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),圓心C為線段MN的中點(diǎn),直線l為線段OC的垂直平分線,

所以點(diǎn)O與C也關(guān)于直線l對稱,

因?yàn)辄c(diǎn)C(2m,4m),直線l為線段OC的垂直平分線,

不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

整理得3x2+10mx-25m2-8=0,

且Δ=100m2-12(-25m2-8)>0恒成立,

所以kAC+kBC

得2x1x2-m(x1+x2)-4m2=0,

即52m2=-16無解,

【評注】變式1從直線、橢圓問題變成直線、雙曲線問題,兩種題型不同視角切入,回歸一般性,得出以上關(guān)系式中參數(shù)的常值情況,可以得到以下一般性結(jié)論.該變式關(guān)鍵點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生一題多解,多題一解的解題能力.

【變式2】(素養(yǎng)變式)存在性問題之角度型

【解題思路】

即AC⊥BC,得kACkBC=-1.

【變式3】(素養(yǎng)變式)存在性問題之面積型

將(Ⅱ)中條件變?yōu)椤霸O(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問:是否存在實(shí)數(shù)m,使S四邊形AF2BC=2S△ABC?若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.”

【解題思路】

方法1:由S四邊形AF2BC=2S△ABC,得S△AF2B=S△ABC,

則只要dF2-AB=dC-AB即可.

又因?yàn)橹本€l:x+2y-5m=0,F2(1,0),

【評注】變式3的關(guān)鍵點(diǎn):考生通過分析,由S四邊形AF2BC=2S△ABC等價(jià)轉(zhuǎn)化成dF2-AB=dC-AB.顯然該題通過方法2直接求解難度較大.

【變式4】(知識變式)存在性問題之向量型

【解題思路】

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

解法二:上同解法一,

易知點(diǎn)O,C,P共線,則只要kOC=kOP即可.

因?yàn)閗OP≠kOC,

【評注】該變式把以斜率知識為背景變成以向量共線知識為背景,變式后的題目解法更靈活,解題思路更加清晰.通過此變式在教學(xué)中還能引導(dǎo)學(xué)生歸納求解字母參數(shù)值的存在性問題的解題策略:①假設(shè)→②推理與計(jì)算→若不出現(xiàn)矛盾,就說明滿足條件的參數(shù)值存在;若出現(xiàn)了矛盾,則說明滿足條件的參數(shù)值不存在.該變式關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理求中點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式5】(素養(yǎng)變式)存在性問題之定直線型

將(Ⅱ)中條件變?yōu)椤霸O(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E相交于F,D兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使得|AM|2=|FM|·|DM|成立?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由.”

【解析】

假設(shè)存在直線l,使得|AM|2=|FM|·|DM|成立,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

整理得4x2-10mx+25m2-12=0,

解得x2=1,

因?yàn)閨AM|2=|FM|·|DM|

=(|OF|-|OM|)(|OD|+|OM|),

且|OF|=|OD|

所以|AM|2=|OF|2-|OM|2,

所以直線l的方程為x+2y+4=0或x+2y-4=0.

【評注】本題(Ⅱ)問的核心在于轉(zhuǎn)化|FM|·|DM|中弦長的關(guān)系,

由|FM|=|OF|-|OM|,

|DM|=|OD|-|OM|,

且|OF|=|OD|,得|AM|2=|OF|2-|OM|2.

因此|AB|2=|FD|2-4|OM|2,

轉(zhuǎn)化為弦長|AB|,|FD|,|OM|三者之間的數(shù)量關(guān)系,易計(jì)算.

此變式目的是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等綜合素養(yǎng).

二、存在性及探究性問題解題策略及三新考向思考

通過2022八省八校聯(lián)考20(T8聯(lián)考)試題分析及變式研究,結(jié)合實(shí)際教學(xué),本人得到如下啟示:

1.圓錐曲線中存在性問題解題策略

變式探究的意義在于“解一題,會一類,通一片”,即通過研究典型試題的背景、知識、解題方法、變形延伸等,而后從中歸納總結(jié)出相似問題的解決思路和解題策略.通過變式研究不難發(fā)現(xiàn)存在性問題解題可通過:四個(gè)步驟,三個(gè)注意的解題策略.

步驟1:設(shè)(設(shè)點(diǎn)、直線)

注意①:直線斜率存在性分析、直線形式分析.

步驟2:聯(lián)(聯(lián)立→消元→韋達(dá)定理)

注意②:在求范圍、值時(shí),注意判別式Δ檢驗(yàn)結(jié)果.

步驟3:列(列(不)等式→消元)

注意③:注意列式可通過:中點(diǎn)型、弦長型、向量型、斜率型、目標(biāo)函數(shù)型、平面幾何性質(zhì)型、常見結(jié)論型等.

步驟3:求(求值、取值范圍、定值或定點(diǎn)、方程、存在性探究問題)

通過引導(dǎo)學(xué)生歸納解題思路,思考變式試題解題策略.提升學(xué)生“解一題,會一類,通一片”的綜合素養(yǎng).

2.圓錐曲線中存在性問題新高考命題動向

從近兩年新高考及?？荚囶}研究中發(fā)現(xiàn),圓錐曲線中存在與探索性問題主要變化是:背景新穎化;題型多樣化;信息增量化;計(jì)算、思維兼顧化;強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

(1)背景新穎化

通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境,創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式,考查學(xué)生們的閱讀理解能力,體現(xiàn)思維的靈活度,考查學(xué)生們的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等核心素養(yǎng).

(2)題型多樣化

在“三新”背景下圓錐曲線中存在性探究問題必將是新高考命題的熱點(diǎn),探索存在性常考題型:數(shù)量關(guān)系型、向量型、幾何關(guān)系型、角度型等.同時(shí)由于導(dǎo)函數(shù)的介入,切線問題也常常被引入到綜合性的問題中.

(3)信息增量化

圓錐曲線中存在性試題在試卷中難度有增加的趨勢,其目的不僅要對圓錐曲線的基本概念、方法、技能方面進(jìn)行考查,還要對思維方面進(jìn)行考查.所以存在性試題的命制既要重視計(jì)算,又要兼顧思維.像2022八省八校聯(lián)考(T8聯(lián)考)第20題第(Ⅰ)問信息量增加、方式更為靈活.

(4)計(jì)算、思維兼顧化

圓錐曲線存在性問題需要熟練掌握圓錐曲線的基本知識和基本技能,所以我們在教學(xué)中要重視計(jì)算經(jīng)驗(yàn)積累,同時(shí)也要將試題合理的變式,提升發(fā)散思維的能力.