例談三角函數專題突破的聚焦點

張建明 祝 峰

(1.安徽省淮北市教育科學研究所; 2.安徽省濉溪縣第二中學)

依據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)命制的新高考試題,強化了考試與教學的銜接,對中學數學教學依標施教有著積極正向的引導作用.在明確《課標》對三角函數專題內容和水平要求的基礎之上,結合實例,提出四個三角函數專題突破的聚焦點,分別為聚焦“四基”,查缺補漏、構建網絡;聚焦知識生成過程,揭示本質、深化理解;聚焦“關鍵能力”,綱舉目張、以簡馭繁;聚焦“一般觀念”,訓練思維、發展素養.旨在提升“三新”背景下高考備考教學的針對性及有效性.

1 聚焦“四基”,查缺補漏、構建網絡

為貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》要求,數學高考會不斷強化“基礎性”的考查,要求學生在深刻理解基本概念和基本思想方法的前提下,自主把握知識之間的內在聯系,深度揭示數學問題的本質,因此高中教學要在培養學生的基礎知識、基本技能和思想,以及基本活動經驗上下功夫.高考備考教學不應淪為“歸題型”“刷套路”模式,應借助典型的高考試題,準確定位學生基礎知識、基本技能、基本思想上的薄弱點,在發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中,豐富學生的基本活動經驗.在查缺補漏、構建網絡的教學中,幫助學生強化知識理解的深刻性,提升方法、思想應用的自覺性、靈活性和創造性.

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(2)是一類什么問題?三角函數圖象、性質的應用問題.

因為ω>0,f(x)在(0,π)上恰有三個極值點,

又f(x)在(0,π)上恰有兩個零點,

2 聚焦知識生成過程,揭示本質、深化理解

只有學生親歷知識生成過程,才能深刻理解知識發生的背景、意義和本質,若經歷不夠充分,那么后續學習和應用知識就會出現大麻煩,但這在數學高考備考的課堂教學中并沒有引起教師的足夠重視,很多教師認為知識生成過程是新授課要解決的問題,過程中沒有什么題目可以讓學生做,沒什么可教,往往采用“一個定義,三項注意”的“告訴式”備考復習.殊不知,有些核心概念和原理,新授課時學生對其產生過程的經歷就不夠充分,加之當時認知水平的限制,學生對知識發生的真正原因,發生過程中蘊含的思維方法,以及知識背后數學思想的認識,不一定能一次性到位.因此在日后的能力立意、素養導向、綜合性較強的實際問題應用中就會無所適從.建議教師在高考備考過程中,應結合典型高考試題求解時出現的錯解,帶領學生再次經歷相關核心概念和原理的生成過程,進一步揭示本質,深化認識.

由輔助角公式得

即sin(α+φ)=1,

高考備考教學不同于新授課教學,教學中應幫助學生增加知識理解的深度和廣度,拓寬方法和思想的聯系性和靈活性.想要學生真正掌握數學知識,靠掐頭去尾燒中段、大量的解題訓練是做不到的,必須讓學生親歷獲得研究對象及應用數學知識解決問題的完整過程.

3 聚焦“關鍵能力”,綱舉目張、以簡馭繁

我們可以從多種視角看待高考試題,借助其設計出不同的高考備考教學,這與教育理念、教學目標、教學思維有著密切關系.如果僅就題論題,必將在浩如煙海的數學試題中迷失方向.如果從知識和技能視角看試題,能將無限題海轉化為有限多的知識和技能,但面對能力立意、素養導向的新高考,常無法有效調動和運用所掌握的知識和技能.如果從數學思維和關鍵能力視角看試題,就能找到牽一發而動全身的“綱”.綱舉才能目張,抓住了題目的“綱”,才能抓住解題的關鍵,與其盲目“刷題”、機械“套路”,不如把握試題的本質要素,從數學思維和關鍵能力視角剖析試題,以培養學生數學關鍵能力為基點,以簡馭繁,這既是有效提升考試成績的“大道”,也是利于學生素養發展的“王道”.

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②這是一類什么問題?三角函數圖象和性質應用、導數幾何意義的問題.

作出函數f(x)的大致圖象,如圖所示.

故A正確;

故B錯誤;

故C錯誤;

故D正確,故選D.

(2)數學運算能力.體現在兩個方面,一是借助對稱中心,獲得φ的表達式,進而結合其取值范圍,確定φ的值.通過推理求得函數的單調區間、圖象對稱軸、極值點,并檢驗相關選項的正確性;二是借助導數的幾何意義和導數運算,獲得函數圖象切線,驗證選項D的正確性.在問題解決過程中,對考生的運算習慣、運算規范化、條理性,以及面對復雜運算時的心態等都是很大的考驗.

(3)邏輯推理能力.體現在解題思路形成時基于經驗與直覺的合情推理過程,以及思路可行性、有效性在演繹推理中的檢驗過程.

4 聚焦“一般觀念”,訓練思維、發展素養

《課標》指出,高中數學教育能夠幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必須的數學知識、技能、思想和方法,提升學生的數學素養,并最終達成“三會”(會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界)目標.“三會”是數學核心素養的靈魂,更是新高考數學命題的立意點,它體現在學科一般觀念之中.學科一般觀念泛指對相關知識學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略方法,在數學問題解決中具有統攝性、一般性、普適性的作用.在高考備考教學中,應通過對典型高考試題的探究,感悟試題創新的命制方式,凝練學科一般觀念,助力學生在掌握“四基”,提升“四能”的基礎上,有效發展學科核心素養.

【例4】(2022·全國乙卷理·17)記△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(Ⅰ)證明:2a2=b2+c2;

行文需要,下文僅以第Ⅰ問為例說明問題.

【分析】(1)已知什么?要證什么?已知三角形中三個角之間的關系sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),證明三邊關系2a2=b2+c2成立.

(2)這是一類什么問題?三角形中的邊角互化問題.

(3)問題解決的基本思路是什么?三角形中邊角互化常依據大邊對大角、正弦定理、余弦定理展開.

【證明】證法一:邊角互化

因為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,

由正弦定理得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

【一般觀念分析】已知角的關系探討邊的關系是問題的本質.三角形中基本的邊角關系有正弦定理、余弦定理,三角形中邊角關系的轉化是這些定理背后的基本策略.教學中應通過實例,呈現這些定理的發生、構建和應用過程,讓學生感受到“邊角互化”是這些定理蘊含的學科一般觀念.

證法二:化歸與轉化

因為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以由三角形內角和定理及誘導公式得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

由兩角和差的正弦公式得

sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A.

由同角三角函數的基本關系得

sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A,

即sin2A-sin2Asin2B-cos2Asin2B=sin2C-sin2Csin2A-cos2Csin2A,

即sin2A-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2C-sin2A(sin2C+cos2C),

整理得2sin2A=sin2B+sin2C,

由正弦定理得2a2=b2+c2.

【一般觀念分析】知識方面,三角形內角和定理學生特別熟悉,但三角形問題解決過程中容易被忽視,它是三角形中三個角之間建立聯系的有效途徑.和差角公式、誘導公式、同角三角函數的基本關系式等三角恒等式,則是角之間關系轉化的必備公式.

學科一般觀念方面,由2sin2A=sin2B+sin2C,結合正弦定理得2a2=b2+c2的過程,體現了“邊角互化”的學科一般觀念.由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),結合三角形內角和定理和誘導公式得sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A);由sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A,進而由同角三角函數的基本關系得sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A,再轉化為sin2A-sin2Asin2B-cos2Asin2B=sin2C-sin2Csin2A-cos2Csin2A,即sin2A-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2C-sin2A(sin2C+cos2C),最終得2sin2A=sin2B+sin2C的系列過程中,體現了代數式結構、角的名稱、函數名稱逐步轉換統一的過程.“化歸與轉化”觀念,是在錯綜復雜的問題情境中,探索思路、尋求方法、準確推理、獲得結論的重要學科一般觀念.高考復習備考課堂教學中,有必要讓學生在具體的問題求解實踐中,感悟“化歸與轉化”觀念的強大功能.

證法三:聯系觀

因為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以由三角形內角和定理及誘導公式得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

由積化和差公式得

即cos2B+cos2C=2cos2A,

由余弦的二倍角公式得

1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A),

即2sin2A=sin2B+sin2C,

由正弦定理得2a2=b2+c2.

【一般觀念分析】知識技能方面,“和差化積”與“積化和差”公式常被教師們認為“無需掌握”,筆者認為它們本質上是“和差角”公式的外延部分,從對知識深度理解視角看,有必要讓學生在實際問題解決過程中體會其功能.實際上,《課標》明確要求學生能夠推導出兩組公式,但不要求記憶,2019年版北師大教材中,單列出一節來講述這部分內容.

學科觀念方面,由和差角公式聯想到積化和差公式,是公式學習的一種常用策略,即“聯系觀”.大量的三角恒等變換公式,關系錯綜,形式靈活,如何能在這些雜亂無章的事物中厘清頭緒,發現規律,搞清公式之間上下的邏輯關聯,用聯系視角理解知識,才能把握知識的內涵、外延以及其背后蘊含的思想和方法.

證法四:分類整合觀

在△ABC中,

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

且sinC≠0,sinB≠0.

①若sin(A-B)=0,則sin(C-A)=0,

則A=B且C=A,

即A=B=C,

所以a=b=c,此時2a2=b2+c2成立.

②若sin(A-B)≠0時,

則sin(C-A)≠0,

由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

由兩角差的正弦公式得

由正弦定理得

整理得2bccosA=a(ccosB+bcosC),

由余弦定理的推論得

即b2+c2-a2=a2,故2a2=b2+c2成立.

綜上,2a2=b2+c2成立.

【一般觀念分析】三角形中的三角函數除具有一般三角函數的全部性質外,又具有特殊性,sinC≠0且sinB≠0正是基于三角形的特征獲得,要適時讓學生認清“特殊”和“一般”的關系.代數式sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)兩邊均有差角和單角,在“整體觀”統領下,把差角結構分別轉化到等式一邊,涉及到sin(A-B)是否為零的問題.先分類后整合的思維方法自然出現,這種證法看似冗雜,且最后又回到正、余弦定理的應用上,但學生在實際探究中,常會出現這樣的想法,教學應鼓勵學生從多角度思考問題,方法的多樣性能夠增加學生對問題認識的深刻性,更能有效增強學生思維的靈活性.