考題思路分步構建，突破過程評析總結

李寶香

［摘? 要］ 2021年全國乙卷第21題為圓錐曲線壓軸題，以傳統的拋物線與直線相交為背景，融合圓上動點，探究解析式以及幾何面積最值. 問題的特點鮮明，但解題突破依然可以沿用常規策略. 文章對考題進行了探究，總結了解決該類問題的知識方法，提出了相應的解題教學建議.

［關鍵詞］ 拋物線；圓；三角形；面積；數學思想

考題回顧，考點分析

思路突破，分步探究

過程評析，解后反思

上述為拋物線綜合題，涉及拋物線、圓、直線的位置關系和函數的性質.第（2）問為核心之問，是典型的三角形面積最值問題. 下面基于解答過程進行反思總結.

1. 過程評析，特點分析

第（2）問為三角形面積最值問題，其中點A，B為拋物線與直線的切點，而點P為圓上的動點，構建三點之間的關系是解題關鍵. 上述解析過程思路清晰，結構簡明，思維連續性強. 總體來看，思路構建具有以下三大特點.

特點一，合理開展類比，巧用切線方程. 上述通過合理類比輕松獲得了切線PA，PB的方程，而求直線AB的方程時要用到切線PA，PB的方程.

特點二，提取方程特征，生成關鍵直線. 上述通過方程特征的把握，直接獲得了關鍵直線AB的方程，其構建方法極為簡潔.

特點三，整體代入化簡，設而不求構建. 上述聯立轉化方程的過程，采用了整體代入的方法，即利用方程根與系數的關系替換方程中的變量，使得變量單一化. 設而不求是求解圓錐曲線問題的常用方法，充分理解韋達定理對解題十分有利.

2. 知識歸納，方法總結

關聯探究，強化應用

原考題是圓錐曲線中的三角形面積最值問題，相切關系、圓上動點是考題的限制條件，上述對該類問題的解決思路進行了梳理，方程聯立、設而不求是突破解題難點的核心策略.下面對一道以橢圓為背景的關聯問題進行探究，強化解題策略.

學習建議，教學探討

圓錐曲線綜合題形式多樣，多表現為求最值、求取值范圍以及結論探索，分析圖象中點、直線與曲線的位置關系是重點. 對于與弦長、周長、面積有關的問題，基本策略是將原問題轉化為函數問題，即根據題意聯立方程，結合問題構建目標函數，然后利用換元、配方、均值不等式、求導等知識和方法解題.

在圓錐曲線解題教學中，教師要引導學生探索問題本質，掌握類型題的通性通法，合理轉化問題，總結解題策略，包括常用的公式定理，簡化技巧，轉化思路；要引導學生充分梳理解題流程，生成規范的解題步驟. 實際教學可結合一題多解、解法拓展、關聯訓練等方式來強化學生的知識方法，幫助學生積累解題經驗；同時要注重解題思想的引導，包括數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等，讓學生感悟數學思想，提升數學思維.

總之，開展圓錐曲線問題的探究，根本意義在于使學生掌握問題、方法、思想的本質，形成自我的解題策略、思路，實現知識的內化吸收. 由此可知，開展解后反思、知識總結、方法梳理對提升學生的能力十分重要.