一道二元函數(shù)最值問題的溯源與求解

張志剛

［摘? 要］ 文章揭示了一道高考模擬試題——二元函數(shù)最值問題的命制背景，并從基本不等式、方程有解、函數(shù)最值等途徑嘗試解答，最后提出一般性方法.

［關(guān)鍵詞］ 拉格朗日乘數(shù)法；背景；極值

題目呈現(xiàn)

命制背景

拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點主要有兩個：一是把目標(biāo)函數(shù)和約束條件統(tǒng)一到一個拉格朗日函數(shù)中；二是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數(shù)將含有n個變量和k個約束條件的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為含有n+k個變量的無約束優(yōu)化問題. 因為在構(gòu)造拉格朗日函數(shù)中，無論約束條件φ（x，y）=0如何，都滿足限制條件. 另外，L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不難發(fā)現(xiàn)求z=f（x，y）的極值點，其實就是求L（x，y）的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關(guān)，至于為什么要加入一個λ，就相當(dāng)于用待定系數(shù)法來確定這個拉格朗日函數(shù). 拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性，顯然通過求拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來求原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更實際、更方便的方法.

題目解答

拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問題優(yōu)化算法，其理論上的優(yōu)越性顯而易見. 然而在實際操作中，對拉格朗日乘數(shù)法求極值的原理的理解和接受需要一個過程，求偏導(dǎo)數(shù)對于高中生來說也是陌生的；另外，在聯(lián)立方程求解時對學(xué)生運算能力的要求較高，那么本題如何用初等數(shù)學(xué)知識求解呢？在高中階段，解決此類問題可以從基本不等式、方程有解、函數(shù)最值等途徑尋求突破，消參、減元、轉(zhuǎn)化是這類問題基本的求解原則，即把雙變量方程轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程，再輔以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和方法就能解決. 當(dāng)然，鑒于此類問題的綜合性，解答中往往需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，以及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型的數(shù)學(xué)思想和方法，頗具挑戰(zhàn)性和選拔性.

追根溯源可以直擊命題意圖，橫跨縱聯(lián)利于發(fā)散、創(chuàng)新學(xué)生的思維. 對于諸多高考題和模擬題，教師要充分挖掘其意境高深悠遠、再生能力強、探究空間大的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生捕捉信息，抓住關(guān)鍵，挖掘本質(zhì)，揭示所求，尋求聯(lián)系，形成設(shè)想，構(gòu)建方案，讓學(xué)生在直觀感知、抽象概括、合情推理、操作運算、思路調(diào)整等思維活動中，綜合運用各種方法，提出新視角、新觀點、新設(shè)想，全方位、多角度、多層次地思考數(shù)學(xué)問題.

參考文獻：

［1］ 張?zhí)斓拢矊W(xué)保. 新高考數(shù)學(xué)思維突破100題［M］. 濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2021.