一道二元函數最值問題的溯源與求解

張志剛

［摘? 要］ 文章揭示了一道高考模擬試題——二元函數最值問題的命制背景，并從基本不等式、方程有解、函數最值等途徑嘗試解答，最后提出一般性方法.

［關鍵詞］ 拉格朗日乘數法；背景；極值

題目呈現

命制背景

拉格朗日乘數法的優點主要有兩個：一是把目標函數和約束條件統一到一個拉格朗日函數中；二是將條件極值問題轉化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數將含有n個變量和k個約束條件的約束優化問題轉化為含有n+k個變量的無約束優化問題. 因為在構造拉格朗日函數中，無論約束條件φ（x，y）=0如何，都滿足限制條件. 另外，L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不難發現求z=f（x，y）的極值點，其實就是求L（x，y）的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關，至于為什么要加入一個λ，就相當于用待定系數法來確定這個拉格朗日函數. 拉格朗日乘數法能夠保證在取得最優乘數的情況下兩者解的一致性，顯然通過求拉格朗日函數的最優解來求原目標函數的最優解是一種更實際、更方便的方法.

題目解答

拉格朗日乘數法作為一種應用廣泛的約束問題優化算法，其理論上的優越性顯而易見. 然而在實際操作中，對拉格朗日乘數法求極值的原理的理解和接受需要一個過程，求偏導數對于高中生來說也是陌生的；另外，在聯立方程求解時對學生運算能力的要求較高，那么本題如何用初等數學知識求解呢？在高中階段，解決此類問題可以從基本不等式、方程有解、函數最值等途徑尋求突破，消參、減元、轉化是這類問題基本的求解原則，即把雙變量方程轉化為一元函數或方程，再輔以相應的數學知識和方法就能解決. 當然，鑒于此類問題的綜合性，解答中往往需要考生具備較高的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，以及轉化與化歸、函數與方程、分類討論、換元法、配方法等典型的數學思想和方法，頗具挑戰性和選拔性.

追根溯源可以直擊命題意圖，橫跨縱聯利于發散、創新學生的思維. 對于諸多高考題和模擬題，教師要充分挖掘其意境高深悠遠、再生能力強、探究空間大的優勢，引導學生捕捉信息，抓住關鍵，挖掘本質，揭示所求，尋求聯系，形成設想，構建方案，讓學生在直觀感知、抽象概括、合情推理、操作運算、思路調整等思維活動中，綜合運用各種方法，提出新視角、新觀點、新設想，全方位、多角度、多層次地思考數學問題.

參考文獻：

［1］ 張天德，安學保. 新高考數學思維突破100題［M］. 濟南：山東科學技術出版社，2021.