深挖知識內涵,促進高位發展

[摘? 要] “雙減”政策的穩步推進，離不開深度教學的支持，教師結合新課標創設有深度的教學活動，深挖知識內涵是促進學生高位發展的基礎. 文章從“深挖課標要求，建構知識體系”“深挖知識內涵，形成深入思考”“深挖基本技能，促進思維發展”“深挖操作內涵，滲透數學思想”等方面展開闡述.

[關鍵詞] 深度教學;“雙減”;發展

作者簡介：邱玉霞（1975—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學工作.

2021年，“雙減”政策橫空出世，掀起了一股新的教育改革浪潮，如何在有限時間內獲得教育教學效益的最大化，成了每個教育工作者不得不思考的問題. 深挖知識內涵不僅是教師業務水平的體現，更是提高教學效率、促進學生核心素養形成的基礎. 基于此，筆者結合自身多年的教學實踐經驗，從幾個實例出發，對如何深挖知識內涵，促進學生高位發展談一些拙見.

深挖課標要求，建構知識體系

課標是各學科專家發揮的集體智慧，在國家教育方針與實際需求的基礎上對課程內容、理念、性質等的研制，對教學具有明確的指導意義. 教師只有深度理解課標要求，從宏觀上研判知識結構，才能設計出科學合理的教學流程，幫助學生建構完整的知識體系.

案例1? “一次函數”教學.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱新課標）對本節課教學提出的知識主體性要求為：了解一次函數的定義、圖象、解析式，在此基礎上運用待定系數法求一次函數的解析式，運用一次函數的圖像與解析式的性質等解決實際問題. 如圖1所示，通過對課程內容邏輯結構與目標的梳理，教師可將與一次函數相關的概念，以“十字模型”的形式展示出來，讓學生站在新的高度了解教學內容，為建構完整的知識體系奠定基礎.

結合新課標要求，教師對教學內容進行了梳理、整合，深度理解編者的意圖，讓學生明確哪些概念與一次函數在邏輯上有著緊密聯系. 理清整個知識脈絡，不僅利于課程目標的落實，還能讓學生抓住知識間的實質性聯系，從高位建構完整的知識結構，為數學整體思想的形成奠定基礎.

深挖知識內涵，形成深入思考

初中數學課程，既有難度較大的如“二次函數的圖象和性質”“全等三角形的判定”等內容，也存在一些如“直線、線段、射線”等容易理解的內容，有些教師對于“簡單”的內容并不重視，認為學生只要自己看一看就會，根本就不需要花費太多的時間與精力去深入探究，而應將時間花費在難度較大的內容上. 殊不知，一些看似簡單的內容背后往往蘊含著豐富的數學思想方法，對培養學生的思考能力與思維習慣具有深遠的影響.

案例2? “線段、射線、直線”教學.

線段、射線、直線對學生來說并不陌生，將這些內容放在平面幾何的起始階段學習，是因為線段、射線、直線本身就屬于幾何圖形，又是構成其他復雜圖形的基本要素，三者間既有密切關系，又存在本質上的區別，其概念、畫法、性質以及表達方法等都是幾何學習不可或缺的基礎.

教師不能因為內容簡單而忽視本節課的教學，而應從最基礎的概念開始，引導學生逐步感知幾何研究的基本方法，即從大小、形狀、位置關系等角度去探索，幫助學生建構完整的研究習慣.

本節課中，教師可以在學生原有認知的基礎上，進一步引導學生深入理解線段、射線與直線，從根本上認清“兩點確定一條直線”的事實，深刻理解“確定”一詞的唯一性與存在性. 除此之外，還要引導學生感知幾何語言的實際應用，學會用恰當的文字或符號來表述相應的圖形，并理解兩者間的關系.

基于以上分析，若能挖掘出可以深度思考的內容，教學就不再那么簡單了，教學設計也有了一定的厚度，如“問題串”的應用，可逐步引發學生深入思考，為促進學生的高位發展奠定基礎.

問題1：請大家分別說說對線段、射線與直線的認識;

問題2：請大家分別畫一條線段、射線與直線，并說說你們的想法;

問題3：對于你們畫出的不同的線段、射線與直線，該怎么區分呢？

問題4：既然大家對線段、射線、直線的文字、圖形、符號表達已經有了一定的了解，現在請大家說說直線與其他圖形有怎樣的關系.

問題5：觀察圖2，說說畫圖過程是怎樣的.

設計意圖 問題1意在喚醒學生原有認知，為找出知識的生長點做準備;問題2從說到畫，意在讓學生從“形”的角度，尋找出線段、射線、直線之間的區別與聯系，并能從圖形的形狀與大小的角度進行描述，自然而然地引出“延長（線）”“反向延長（線）”等概念;問題3則進入了符號語言的探索階段. 前三個問題，引導學生從圖形的形狀與大小出發，親歷圖形語言、文字語言與符號語言的發展過程，為接下來探究圖形的位置關系夯實基礎. 問題4的設計，意在讓學生從“點線”“線線”的角度思考圖形的基本位置關系，這里會涉及線段與直線、射線與線段等之間的關系;問題5需要學生將圖形語言直接轉化為文字語言與符號語言的規范表達，這存在一定的難度，對學生的邏輯思維提出了較高的要求.

循序漸進的“問題串”，不僅讓學生通過自主探索發現線段、射線與直線的準確表達方法，并對三者間的區別與聯系形成了理性認識，還有效地啟發了學生的思維，讓學生親身體驗了平面幾何圖形的基本研究方法，形成了深入思考的能力，為后續幾何問題的研究奠定了基礎.

深挖基本技能，促進思維發展

數學技能是通過學習而形成的合乎法則規定的數學活動方式，屬于動作經驗的范疇. 一般分為操作（測量、作圖、運算工具等）技能和心智（審題、解析、檢驗、運算等）技能，數學技能是數學活動不可或缺的內在調節機制，屬于數學基本結構的組成部分，亦是解決問題的充要條件. 然而，有些教師對于一些簡單的數學技能并不重視，認為學生只要通過大量的訓練即可達成預期目標.

教學實踐告訴教師，數學技能的形成與發展并非通過機械簡單重復的訓練即可達成，而應從其本質與內涵出發，挖掘出技能背后的數學思維，才能從真正意義上促進學生數學能力的發展.

案例3? “同底數冪的乘法”教學.

同底數冪乘法公式的推導并不復雜，應用也較為單一，但同底數冪乘法的背后卻蘊含著數學學習重要的理性思維，這是不容小覷的事實. 因此，筆者在教學前做了如下分析：

冪的運算作為“式的運算”中的一個分支，從學生的角度來看，屬于單項式范疇，因為在學生原有的認知結構中，a2，a3都屬于冪，且均為單項式. 既然學生已經掌握了單項式的運算，為什么還要將“冪的運算”單獨列出來研究呢？這是因為負指數的出現打破了學生原有的認識，學生發現冪并不一定是整式，因此需要將“冪的運算”單獨列出來研究.

從數學一致性的角度來看，冪的運算與其他運算類似，應該也有加減乘除、乘方等運算，為什么本章節卻沒有提到冪的加減運算呢？因為只有同底數同指數（數字除外）的冪才可加減，運算法則就是“合并同類項”，即整式加減. 本節課所研究的運算技能（乘法）稱為“同底數冪相乘”，為什么不稱為“冪的乘法”呢？究竟是如何想到將兩個同底數冪進行相乘的？

只有將以上的思維過程充分暴露給學生，并帶領學生逐條去探索、分析，才能讓學生從真正意義上掌握同底數冪乘法的來龍去脈，為后期的靈活應用打牢根基. 基于以上思考，本節課需要解決的問題太多了，絕非簡單的三言兩語就能完成教學任務. 因此，筆者設計了如下開放有度的問題，以啟發學生的思維.

問題1：已知光在真空中的傳播速度為3×108 m/s，在真空中穿行一年的距離為1光年.

（1）若一年以3×107 s來算，求1光年的距離.

（2）若銀河系的直徑為10萬光年，約為多少千米？

（3）假設一架客機的飛行速度是1000 km/h，光速是這架客機速度的多少倍？

問題2：什么是冪？我們已經學習過哪些運算？

問題3：嘗試自主探索冪的加減法，說說你的探索思路.

問題4：自主研究冪的乘法，并說說研究過程.

設計意圖 問題1的應用，除了讓學生體驗學習“冪的運算”的必要性外，還讓學生感知冪的乘法運算可以結合乘方的意義進行，就是煩瑣一些;問題2意在讓學生明確本節課的研究對象，并主動發現新舊知識間的聯系與區別，為接下來的研究活動奠定基礎;問題3屬于學生探索過程中動態生成的產物;問題4則是本節課的教學重點，屬于前幾問研究的自然生成與提煉部分.

前三問的探索，能讓學生感知冪的加法運算不是在所有情況下都可以進行的，這樣的認識為冪的乘法運算的研究做好了鋪墊. 冪存在底數和指數，因此在研究過程中，應對“加法”進行分類討論，所應用的法則為整式的加法法則.

由淺入深的問題驅動，使得學生的思維拾級而上呈現螺旋式上升. 尤其在前三問充分理解的基礎上研究問題4，由于學生的思維已經處于一個較高的階層，研究冪的乘法法則能實現自主分類、猜想與驗證，因此深挖數學運算的基本技能，是促進學生思維發展的關鍵.

深挖操作內涵，滲透數學思想

實踐操作是知識的再創造與再發現的過程，對新知的建構與數學思想的形成具有重要意義. 但有些教師對操作的認識仍不充分，認為操作與考試沒有多大關系，常以視頻演示的方式一帶而過，或干脆讓學生自己操作“玩一玩”. 殊不知，數學思想方法是在活動過程中迸發出來的，且隨著活動的精細度與復雜度逐漸加深，朝著更高級的形態發展. 陶行知先生的“做中學”理念在教學中取得的成就，就是對實踐操作重要性的最好詮釋.

案例4? “豐富的圖形世界”教學.

七巧板是學生熟悉的益智玩具，具有激趣、啟智等作用，它對培養學生的形狀概念、視覺辨析能力以及手眼協調性等有著重要影響. 將七巧板相關的內容安排在初一階段，有些教師認為這個操作活動過于簡單，而且考試又不會考，便選擇一帶而過的教學方式. 其實，利用好七巧板的教學功能，不僅能讓學生感知圖形間的形狀、位置、大小等關系，還能形成用數學的眼光、語言與思維看待事物的能力.

為了利用本節操作課發展學生的數形結合思想，筆者特精心設計了一系列有深度又有高度的問題與操作活動，以啟發學生的思維.

問題：七巧板是大家熟悉的玩具，它是由哪些圖形組成的？各個圖形之間有什么聯系與區別？

操作1：請用一張紙制作一組完整的七巧板;

操作2：請大家利用自己制作出來的七巧板拼搭出你自己滿意的圖形，并在組內交流拼圖過程;

操作3：將你的拼圖過程口述展示給全體學生，看看大家能否拼出與你一樣的圖形.

設計意圖 問題的提出，主要是為了引導學生理性分析七巧板中每塊圖形的大小與形狀，為接下來的操作活動奠定基礎. 學生在解讀各個圖形的要素時，不僅鞏固了對圖形研究的常規思路與方法，還進一步提煉了數學語言.

操作1是由經驗到實踐的過程，此環節意在培養學生的動手能力，既是對問題經驗的驗證，也為接下來的活動操作提供了工具;操作2的拼圖已經不是簡單的拼圖，而是讓學生帶有審美的觀念去拼出自己滿意的圖形，具有滲透“數學美”的目的;操作3的設計，以訓練學生用數學語言表達想法的能力.

陶行知先生認為，做是教的中心，也是學的中心，“做數學”是讓學生在實踐中體驗、思考、感悟與創造的過程，也是滲透各類數學思想方法的主要途徑. 學生拼七巧板的過程既能鍛煉自身動手、動腦、動口的能力，還能有機地融合數形結合思想，對七巧板的數與形形成更高層次的認識.

總之，充分挖掘課標與教學內容背后所隱含的教學價值，帶領學生親歷豐富的實踐活動，不僅能促進學生數學思維的高速發展，還能幫助學生形成良好的數學思想方法，從真正意義上體現出數學教學的“育人”價值，為學生數學核心素養的形成與發展奠定基礎.