微調教材,提前滲透數學知識的嘗試

[摘? 要] 隨著“雙減”政策的有序推行，對所有教育工作者的教學能力提出了更高的要求. 實踐證明，潛心研究教材與學情，結合教師自身的教學經驗，微調教材教學內容，適當提前進行知識的滲透，會有意想不到的教學成效. 文章從提前滲透類似概念、規定、公式、配方變形與函數圖象等方面展開分析.

[關鍵詞] 教材;提前滲透;概念

作者簡介：黃國云（1976—），本科學歷，從事初中數學教學工作，曾獲福州市教育系統先進工作者、市骨干教師等榮譽稱號，曾獲市優質課一等獎、市教學技能賽二等獎.

教材源自編者的精心設計與編排，是教學的依據，亦是學習的主要資源，具有學術性、規范性與科學性等特征[1]. 然而，教材雖好，但它的設計與編排都是根據大眾水平安排的，受地域、教育等綜合因素的影響，在實際應用時，難免會出現與學情不匹配的情況. 作為教師，可結合學生的實際情況進行微調，以提高教學效率.

提前滲透類似概念

概念是數學學習的基礎，是建構認知體系的基石. 若想踐行“雙減”政策，夯實概念基礎是首要條件，那究竟該如何讓學生快速、準確地深入理解數學概念呢？經實踐探索，筆者發現在概念教學時，順勢引導學生了解與之類似的概念，能加強學生對概念的體驗，為后繼教學奠定基礎.

概念本身是對數學事物的抽象，若單獨教授某一概念，常會讓學生感到枯燥、乏味，缺乏學習興趣，而引入與之相關的概念，常能激發學生的探索欲，讓學生對未來將要學習的概念產生興趣. 這種情感基礎的奠定，不僅為后繼教學提供支持，還讓學生對當下概念的理解更加深刻.

案例1? “一元一次方程”的教學

一元一次方程的概念為：等式的兩側均為整式，式子中僅有一個未知數，未知數的指數為1的方程為一元一次方程. 為了深化學生對一元一次方程概念的理解，筆者引導學生參與了以下教學過程：

用PPT展示問題：觀察下列各式，說一說一元一次方程有哪些.

A. 3x=0 ? ? ? ? ? B. 3n+2=1-n

C.+m=2 ? ? ?D. =14

E. m+y=9 ? ? ? ?F. x2+x-4=0

學生一致認為A，B，D三個式子為一元一次方程，其他幾個式子都不屬于一元一次方程的范疇.

師：既然大家一致認為m+y=9與x2+x-4=0這兩個式子并非一元一次方程，那你們覺得這是什么方程呢？我們能否賦予它們一個名稱？

生1：式子m+y=9中含有兩個未知數，最高次數為1，是不是可以稱為二元一次方程？

生2：同理，式子x2+x-4=0中只有一個未知數，最高次數為2，是否可稱為一元二次方程？

大部分學生都贊同這兩位學生的觀點.

雖然這兩種方程并非本節課的教學內容，與本節課的教學要求、目標等毫無關系，但這幾個概念之間存在共同之處，筆者讓學生在研究一元一次方程的時候，接觸并嘗試認識這兩類方程，很快就激發了學生的探究欲，讓學生在自主分析中獲得了良好的成功體驗.

鑒于這三類方程之間存在顯著的共性關系，教學一元一次方程時，教師可鼓勵學生自主揣摩其他兩類方程的定義，深化學生對判定方程類型的三個條件（未知數個數、代數式類型以及未知數的次數）的認識. 學生因自主獲得結論，形成良好學習體驗的同時會產生較大的成就感，不僅對自身的學習能力產生自信，也為形成舉一反三的學習能力奠定了基礎.

想要理清概念的內涵與外延，必須對概念的縱深與橫向聯系產生深刻的認識，尤其在“雙減”政策的扶持下，除了凸顯學校為教學主體外，對教師的教學能力與學生的學習能力都提出了較高的要求. 因此，教師進行概念教學時，應站到一個宏觀的角度，帶領學生感知數學為一門系統性學科，知識與知識間有著緊密的聯系.

提前滲透相關規定

從概念間的關聯性出發，不難發現數學是一門系統、周密、嚴謹的學科，但在系統的運行與建立過程中，難免會出現一些約定俗成的東西，教材將這些東西統稱為“規定”. 規定與數學知識同樣具有由淺入深的特點.

如今的學生生活在信息化時代，不僅有著豐富的知識儲備，還有著靈活的數學思維. 教學過程中，常會遇到學生提出一些超前的看法與想法. 作為教師，應積極回應學生所提出的看法與想法，盡可能多地加以鼓勵與肯定，讓學生樂于提出看法，勇于表達想法，形成愛問、樂學、善學的良性循環. 對于學生超前看法與想法的回應，一般是對將來會涉及的一些規定作初步介紹，讓學生感知數學的博大精深，體驗數學學習帶來的無限樂趣.

案例2? “同底數冪除法”的教學

教材在本章節對“零指數冪”和“負整數指數冪”作了以下規定：①任何不為零的數的零次冪均為1，也就是a0=1（a≠0）;②任何不為零的數的-p次冪（p為正整數），均為該數p次冪的倒數，也就是a-p=（a≠0，p為正整數）.

面對這個規定，學生獲得了指數可為零，也可為負整數的認識. 一些思維較靈活的學生會提出：從以上規定來看，指數可以是零、正負整數，就是說指數可以為整數，那么指數是否可以為分數呢？這是一個超前的想法，教師若以“將來你們會知道”的話語將學生隨意打發掉，則會挫傷學生的學習興趣. 為此，筆者在此處提前滲透相關規定，以增強學生的學習樂趣，讓學生從中感知數學的魅力.

生3：指數是否有可能為分數呢？若有，我們該如何理解a呢？

師：這個問題非常好！說明你在積極地動腦思考. 與你所想的一樣，指數確實可以是分數，將來我們會遇到這樣的規定：a=（a≥0）. 舉個簡單的例子，如9=，較復雜的一些如a=.

生4：哇哦！乘方形式還可以轉化成開方形式啊，有點意思.

此時，學生探究的積極性被完全調動起來. 原本枯燥的課堂瞬間就讓學生覺得其樂無窮，尤其是外形差異如此之大的乘方與開方竟然具有互相轉化的功能，這種轉化就如同學生所熟悉的加減乘除的轉化一樣，令學生感到興趣盎然.

雖然分數指數冪的內容要到高中階段才會碰到，但提前介紹會讓學生深刻體會到指數的取值范圍還有擴大的空間，由此欣喜地發現兩種新知間存在著必然的聯系，這種提前告知的方式顯然讓學生的理解更加豐富，教學也顯得更立體. 隨著教師的解說，學生能感知到知識之間存在著千絲萬縷的聯系，體會到積極思考與勇于表達所帶來的快樂，這為幫助學生建立學習信心，培養創新意識奠定了良好的基礎.

提前滲透相關公式

公式是經過歲月的洗禮，歷經千錘百煉而形成的. 它最大的價值在于讓原本復雜的問題變得簡便，尤其是計算類的公式，能減輕計算者的大量負擔. 如乘法公式的學習，教材呈現給師生的是正向運用公式來簡化復雜的運算，而事實上，只要以等式形式呈現的公式，都具有雙向變形的功能. 教學中，教師可適當地提前展示公式的雙向應用功能，以拓展學生的思維，讓學生對公式形成更加成熟、理性的認識.

案例3? “乘法公式”的教學

教材中有這樣一道例題：

簡便計算下列算式，要求使用平方差公式：

（1）97×103;（2）60.2×59.8.

這道例題難不住學生，學生很快就解出相應的答案. 為了拓寬學生的視野，增強學生對乘法公式的認識，筆者借助PPT展示了以下練習，同樣要求學生用平方差公式進行簡便計算：

（1）81.52-78.52;（2）9992-9982.

補充練習雖然與教材的要求一樣——讓學生用平方差公式簡便計算，但應用的方向卻完全相反. 該練習有意讓學生明白，應用平方差公式解決問題時，不僅可以正向應用公式，還可以反向應用公式，不論是哪種應用方法，均可達到簡便運算的目的.

筆者展示的補充練習，涉及了下一章因式分解部分的內容，雖然這是學生尚未接觸過的領域，但并沒有帶給學生不適感，反而讓學生感知到公式正反應用的樂趣. 教師將兩個方向的運算一起展示在學生視野中，能使學生真實、生動地感知到數學公式的雙向應用特征. 這種提前滲透的教學方法，讓學生對公式的掌握更加立體、全面，為后繼學習奠定了良好的基礎.

提前嘗試配方變形

數學方法一般為解題的通性通法，它們的形成都是學習成果的提煉，對于學生掌握解題技巧、順利解題起著決定性的作用. 然而，任何數學方法的掌握都不是一蹴而就的事情，即使一種數學方法，也有可能在不同學習階段出現，但整體難度基本呈循序漸進螺旋式上升，同時還與時代發展相掛鉤[2].

鑒于此，教學中遇到關于數學方法的授課時，如果教師適度提前為學生普及它的應用或特點，能讓學生體驗到數學方法獨有的魅力，對學生連貫、深入地理解并應用數學方法提供保障.

案例4? “因式分解”的教學

教材中有這樣一道例題：

因式分解下列各式：（1）-x2+4xy-4y2;（2）4a2+12ab+9b2;（3）3ax2+6axy+3ay2.

學生在解題中呈現出類似于（x-2y）2，（2a+3b）2的多項式平方類型，其實這是配方的成效. 筆者考慮到這種方法具有較強的學習意義與教學價值，便在本單元的復習環節中添加了以下練習：

（1）解方程x2+y2+6x+y+=0，并求出x，y的值;

（2）代數式m2-2m+7的最小值是多少？

（3）代數式-m2+2m-7的最大值是多少？

（4）求方程2x2-2x-4=0的解.

經歷以上幾道題的練習，學生對配方法的應用步驟、蘊含的本質以及配方的目標等有了更加明確的認識，為后繼學習夯實了知識基礎. 當然，這不能說區區幾道題就能達到多么好的教學效果，此類練習并不在本節課的教學目標范疇內，對學生的掌握程度沒有明確的要求. 因此，淺嘗輒止即可，教師無須在此花費太多時間與精力引導學生進行深究.

配方法作為初中數學的教學難點之一，學生在掌握與應用上總存在一定的障礙，因此當學生初步接觸這部分內容時，教師可適當地加以深化與滲透，讓學生在思想上更容易接納配方法的應用，這種未雨綢繆的教學方法為學生后期構造配方法的知識體系與理解其本質奠定了基礎. 同時，教師在提前滲透時，可適當地展示配方法的使用背景，讓學生理解“構造一個非負數”的實際意義，為不同情境下的實際應用做鋪墊.

提前接觸函數圖象

函數是初中數學教學的重中之重，準確地描繪函數圖象是研究函數最重要的手段，其中描點法貫穿學生整個函數學習生涯，從一次函數的學習開始，學生就有所接觸，但因為一次函數的簡單性（一條直線）與特殊性，往往讓師生都忽略了描點法在繪圖中的重要性. 若在一次函數授課時，微調教材內容，超前帶領學生探索一些具有代表性的例子，引導學生從不同的角度去描點、連線，會讓學生感知到學習的趣味性，暴露描點法的本質.

案例5? “一次函數的圖象與性質”的教學

在探索y=2x+1的函數圖象時，學生經歷了描點與連線的過程，在直角坐標系中獲得了相應的圖象（一條直線）. 由此，學生明確知道了一次函數y=2x+1的圖象為一條直線.

眾所周知，兩點就能確定一條直線，只要確定一次函數的圖象為直線，那就不需要費時間描多個點，任意標出一次函數的兩個點，再連線即可獲得相應的圖象. 但這種方法對剛剛接觸描點法的學生而言，會形成一種思維沖突，影響學生對后繼學習內容的理解. 若想消除這種負面影響，教師可做以下教學設計：

師：通過前面學習，我們都明確知道了y=2x+1為一次函數，圖象為一條直線，現在我們來猜想一下y=x2是什么函數.

生5：應該是二次函數.

師：不錯，二次函數的圖象會是什么樣子的呢？現在我們模仿對一次函數的探索過程，通過描點法去分析其圖象.

在教師的啟發下，學生可自主列表、描點、連線，很快就能獲得y=x2的圖象.

此過程僅僅是為了讓學生感知描點法的重要性，體驗這種方法研究未知函數圖象的作用，因此該過程只需要蜻蜓點水即可，無須帶領學生進行深入探究. 二次函數的提前滲透，還讓學生感知到，并不是所有的函數圖象都是直線，在建構認知體系時，可糾正一些主觀的錯誤認識.

總之，面對數學教材，教師應在領悟其設計意圖的基礎上，站到一個宏觀的角度去分析教材與學情，這樣才能在課堂中利用好教材，并突破教材的限制，達到靈活應用、精益求精的境界[3]. 當然，提前滲透數學知識的前提是學生能接受、樂于接受. 實踐證明，謹慎、適度的提前滲透能有效拓寬學生的視野，提高教學效率，拔高學生的思維，促進學生數學核心素養的形成與發展.

參考文獻：

[1]約翰·杜威. 我們怎樣思維·經驗與教育[M]. 姜文閔，譯. 北京：人民教育出版社，2005.

[2]張奠宙. “與時俱進”談數學能力[J]. 數學教學，2002 （02）：7-9.

[3]曹培英. 跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M]. 上海：上海教育出版社，2017.