基于西蒙數(shù)學理論的初中幾何教學實踐與反思

[摘? 要] “西蒙數(shù)學”是在“人類自適應學習”的理論基礎上，將人工智能和現(xiàn)代認知心理學應用于數(shù)學教學的現(xiàn)代教學理論. 應用西蒙數(shù)學理論，教師設計并執(zhí)教“平行拐角求角度”專題課，應采用小步走、搭建腳手架的方法，設置層次分明的題組，讓學生主動探究與建構知識，助其掌握此類題型的解法，同時培養(yǎng)其知識的遷移能力和運用能力.

[關鍵詞] 平行拐角問題;西蒙數(shù)學理論;自適應學習;產(chǎn)生式;題組教學

基金項目：廣東省教育規(guī)劃課題“基于自適應學習理論提升初中生幾何推理能力的研究”（2021YQJK050）.

作者簡介：吳小敏（1982—），教育碩士，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究工作，曾獲廣東省初中青年教師優(yōu)秀課評比一等獎.

前言

無論是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)，還是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的初中數(shù)學十大核心概念，“推理素養(yǎng)”或“推理能力”皆列其中，可見推理能力對學生發(fā)展的重要性不言而喻. 在初中數(shù)學中，幾何部分的教學對發(fā)展學生的推理能力一直發(fā)揮著至關重要的作用. 另外，在初中數(shù)學的四大模塊（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率和綜合實踐活動）中，幾何難教難學幾乎是師生的共識. 因此，高校和教研部門的專家以及諸多一線教師，都在做優(yōu)化幾何教學的理論探索與實踐.

西蒙數(shù)學理論簡介及其在幾何教學的應用

傳統(tǒng)教學中的“講授式”是一種單向教學方式，在師生互動欠缺的情況下，學生的興趣和注意力不易有效喚起，知識掌握不牢固，對于難度大的學習內(nèi)容更難以攻破其重難點. 心理學界認為，解決學習問題不能依賴學科知識，還需關注認知心理. 按照安德森等人的研究，將知識分類[1]，很多幾何性質(zhì)、定理、推論都是陳述性知識或程序性知識，需要較復雜的認知策略才可解決，解決問題的過程一般以產(chǎn)生式（if...then...）的動態(tài)形式來表征. 當學生的腦中形成了足夠多的產(chǎn)生式，便能出現(xiàn)較多的解題技能與認知策略，進而快速有效地提取信息解決問題. 關于產(chǎn)生式研究，國內(nèi)外影響力較大的，是著名認知心理學家赫伯特·西蒙（H·A·Simon）與中國科學院心理學家朱新明聯(lián)合研究的成果——“自適應產(chǎn)生式系統(tǒng)”. 近二十年來，華南師范大學謝明初教授在此基礎上借鑒建構主義和情境認知理論，提出了一套高效教學方法，并據(jù)此編寫教材，開展實證研究，形成的理論用“西蒙”冠名以示紀念，謂之“西蒙數(shù)學”[2][3][4][5][6][7].

西蒙數(shù)學將人工智能和現(xiàn)代認知心理學運用于數(shù)學教學[8]，主張學生主動學習并進行知識建構，教師不是單向給學生輸入知識，而是通過為學生提供精心設計層層遞進的題組，讓學生成為學習主體，充分發(fā)揮學生學習的積極性，依據(jù)已有知識和經(jīng)驗來解決問題. 學生則通過問題體會知識的來龍去脈，用“做中學”“例中學”兩種方式，對數(shù)學知識進行探索與建構，從而歸納數(shù)學原理、性質(zhì)和方法，并以此解決問題.

在初中幾何學習的入門階段，平行拐角問題是一個難點，也是近些年全國各地常見的考點，且常以較復雜的形式出現(xiàn)，通常是兩個甚至多個平行拐角基本圖形的疊加. 圖中出現(xiàn)線多角多時，部分學生會被過多的信息干擾，他們往往不易從中識別、抽取出基本模型，難以借助平行線與同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角三類角的關系去解決問題. 基于上述情況，本文嘗試運用西蒙數(shù)學理論，以“平行拐角求角度”為例，探討初中幾何教學設計的重構.

教學案例分析

1. 教材內(nèi)容、學情分析

繼“相交線與平行線”后，學生學習“平行拐角求角度”專題課. 學生已掌握此類題型的常用解法，具備用規(guī)范的幾何語言書寫過程的能力. 為了讓學生進一步熟悉此類問題的解答方法，并能系統(tǒng)地掌握六種基本類型的結論，教師課前給學生布置了一道能概括平行拐角的所有基本類型的題目. 對于大多數(shù)學生而言，這是難以攻破的題目類型. 這需要學生熟悉不同的圖形變化情況，且具備將復雜圖形拆分成簡單的基本圖形的能力.

2. 教學目標

（1）進一步熟悉平行拐角的六種基本圖形;

（2）以“問題鏈”展開的題組學習中，將復雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形求角度，并能將解題方法遷移應用于其他不同場景的變式題型中;

（3）將復雜的圖形拆分成簡單的基本圖形的過程中，體會“化歸”“從特殊到一般”等思想方法.

3. 教學重難點

熟悉平行拐角問題的六種基本圖形;把復雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形來解決問題.

教學過程設計

1. 復習回顧

從布置的作業(yè)題入手，讓學生展示自己的作業(yè)過程，說出六種基本圖形中三個角之間的數(shù)量關系并分析證明思路.

如圖1所示，直線AC截直線AB，CD，AB∥CD，點E是不在直線AB，CD，AC上的任一點，且∠BAE=α，∠DCE=β，求∠AEC的度數(shù)（用α，β的式子表示）.

設計意圖? （1）圖1中的直線AB，CD，AC將整個平面分為六個區(qū)域，動點E就有六種位置類型，包含平面中的六種基本拐角類型. 此處涉及分類思想和從抽象到具體的思維方法;（2）讓學生回憶舊知：含“拐角”的平行問題，解題思路是在“拐點處”作平行線，讓學生經(jīng)過角的轉(zhuǎn)化得出三個角之間的數(shù)量關系，會用到轉(zhuǎn)化思想;（3）通過復習讓學生進一步理解和熟悉這六種基本類型的結論.

小結? 六個結論中，有五個結論相同：大拐角=兩個小拐角之和;有一個特殊結論：三個拐角之和=360°.

2. 知識建構

如圖3所示，若FG平分∠CFP，MH平分∠AMG，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

此題圖形復雜，且所有角都未知具體度數(shù)，如果直接拋出此題，基礎薄弱的學生可能會束手無策. 由于不同層次的學生認知水平和接受能力有所不同，所以教師根據(jù)認知規(guī)律搭建“腳手架”，設置梯度合理的“問題串”，可使學生易于接受，樂于挑戰(zhàn)，在“做中學”里拾級而上. 于是，教師編排了以下題組：

【題組1】

第一步，復習題目中包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖4所示，已知AB∥CD，∠BAP=95°-2α，∠APC=90°-α，∠PCD=55°-α，求α.

第二步，復習題目中包含的另一平行拐角基本模型，與題1是并列式問題：

題2：如圖5所示，已知AB∥CD，且∠GEA=95°-2α，∠GFC=90°-α，∠G=55°-α，求α.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中，即將題1與題2組合成題3：

題3：如圖6所示，已知AB∥CD，且∠GMA=α，∠GFC=∠GFP=β，（1）用α，β的式子表示∠G與∠P;（2）若∠G+1/2∠P=60°，求∠GMA.

第四步，經(jīng)歷前面三道題的解決過程，當遞進式的題4出現(xiàn)時，學生便能讀懂題4的圖形. 同時，學生從題3能夠受到啟發(fā)，可分別用兩個未知數(shù)來表示與角平分線相關的角. 例如，設∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，從而用含α，β的式子分別表示出∠G，∠P，再由∠G和∠P的數(shù)量關系列出方程求解.

題4：如圖7所示，已知FG是∠CFP的平分線，MH是∠AMG的平分線，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

小結? 熟悉平行拐角問題的六種基本圖形是關鍵，同時要將復雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形.

設計意圖? 教學目標是讓學生將復雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題，因此教師可根據(jù)問題中用到的平行拐角基本圖形，以題組形式有針對性地、層層遞進地呈現(xiàn)出來，讓學生通過一個個問題對知識點進行逐層分解. 學生解決完前面幾個問題后，把方法遷移到題4中，問題迎刃而解.

西蒙數(shù)學理論認為學習目標不能停留在對知識的理解上，而要培養(yǎng)和提升學生對知識的遷移能力和運用能力. 所以西蒙數(shù)學教學法提倡教師采用小步走，從易到難、從具體到抽象，以逐層遞進的方式精心編排題組，讓學生“做中學”，并在教師的引導下對題組的解題策略進行小結. 同時，教師要為學生編排出豐富的變式題組，促其“例中學”，類比例題來解決新的問題，并引導學生從題目的變化中把握解題思路中的“不變”，讓學生靈活地解決數(shù)學問題，幫助學生實現(xiàn)知識遷移，從而達到融會貫通的學習效果.

經(jīng)歷題組1形成方法的過程，學生通過“例中學”，進一步分析這一類題型的解答思路，總結解題策略. 于是，教師又設計了以下題組：

【題組2】

第一步，先呈現(xiàn)題4包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖8所示，已知AB∥CD，且∠ABE=2α，∠CDE=2β，求∠E（用α，β的式子表示）.

第二步，呈現(xiàn)題4包含的另一平行拐角基本模型：

題2：如圖9所示，已知AB∥CD，且∠ABM=α，∠CDN=β，求∠F（用α，β的式子表示）.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中，并加入雙角平分線，由前面兩題的啟發(fā)，分別設∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，從而用含α，β的式子分別表示出∠F，∠E，然后求解問題.

題3：如圖10所示，AB∥CD，BM平分∠ABE，DN平分∠CDE，直線BM與DN相交于點F，求∠F ∶∠E的值.

第四步，依照“從簡單到復雜，從具體到抽象”的順序編排題組，這也呈現(xiàn)了研究數(shù)學的常用方法：從特殊到一般. 學生可以遷移前面解決問題的知識與方法來解決題4.

題4：如圖10所示，若∠ABM=1/n·∠MBE，∠CDN=1/n∠NDE，則=∠F/∠E______.（用含n的式子表示）

小結? 遇雙角平分線、比例式可設未知數(shù)，讓學生將復雜的平行拐角圖形拆分成熟悉的平行拐角基本圖形，將題組1的解答方法遷移應用于其他變式題型中.

設計意圖? 教學目標依然圍繞學生將復雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題. 若教師直接給出題4，會讓許多學生望而生畏. 所以教師依然遵循西蒙數(shù)學理論，由簡入難、從具體到抽象設計題組2. 這樣不僅能幫助學生進一步理解知識，還能培養(yǎng)學生的知識遷移能力和運用能力.

3. 課后作業(yè)

教師遵循“小步臺階，從易到難”編排作業(yè)，繼續(xù)設計不同的數(shù)學情境，以相應的變式進行發(fā)散思維的訓練，讓學生可以靈活遷移和運用前面形成的知識、策略去解決問題，從而達到舉一反三的學習效果.

【題組3】

第一步，復習題目中包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖11所示，已知AB∥CD，∠K=60°，∠KHC=nα，求∠AGK（用含n，α的式子表示）.

第二步，繼續(xù)復習題目中的同一平行拐角基本模型，變換已知條件中的兩角，求第三個角. 題2多加了一個未知數(shù)，難度遞增.

題2：如圖12所示，已知AB∥CD，且∠AGP=60°-nα+α，∠PHC=nα.求∠GPH（用含n，α的式子表示）.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型結合在一起. 所求式子涉及兩個角（∠AGM和∠GPH），根據(jù)掌握的方法，設未知數(shù)并用未知數(shù)分別表示出兩個角，再依據(jù)定值的含義，求出n的值.

題3：如圖13所示，AB∥CD，點G在AB上，點H在CD上，點K在AB，CD之間且在直線GH的左側(cè). 已知∠GKH=60°，點P在線段KH上（不與K，H重合），連接PG并延長至M，∠KHC=n∠KGP，要使得∠AGM/∠GPH為定值，求n.

小結? （1）遇倍數(shù)關系式時，可設未知數(shù);（2）正確理解定值的內(nèi)涵;（3）進一步內(nèi)化題組1、題組2的解答方法，并靈活地應用于其他數(shù)學情境，以達到融會貫通的學習效果.

教學反思

1. 立足認知心理，邏輯與認知雙維進階

借助西蒙數(shù)學教學法設計教學方案，其優(yōu)勢是立足認知心理學，從邏輯和認知的維度出發(fā)，助力學習者建構知識.

建構主義理論認為：學習不是知識由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，不是他人間接經(jīng)驗的傳授，而是學習者主動地、自發(fā)地形成自己知識經(jīng)驗的過程，即“經(jīng)過新舊知識之間互相作用來擴充、豐富和改造已有的知識經(jīng)驗”[9]. 學習者是以自身的經(jīng)驗主動地建構和形成新的知識和經(jīng)驗的，不是被動地接受;且所進行的有意義的建構并不是毫無根據(jù)的，而是在具體的情境中進行的. 獲得新的知識經(jīng)驗與已有的知識經(jīng)驗相關，所經(jīng)歷的問題通常是具體的情境問題. 所以，教師可以根據(jù)不同的課型、不同的教學目標、不同的教學對象，由易到難、層次分明地設置題組，使學生處于易于解決的具體問題中，例如本教學設計中的各題組的編排，就是讓學生聯(lián)系舊知，建構新的知識經(jīng)驗，啟發(fā)和引導學生思維，提高課堂效率.

2. 搭建認知支架，“問題鏈”明確思維指向

由維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，題組中各小題的設計可以看作是教師為學生從“現(xiàn)有水平”到“可能達到的發(fā)展水平”搭建的“支架”. 問題間存在一定的層次性與梯度性，在解決這些問題中，不斷攻破重難點，使教學目標得以順利完成. 奧蘇貝爾認為影響學習者學習效果最主要的因素是“學習者已掌握的知識和即將掌握的知識之間建立聯(lián)系的情況，當學習者將新知識內(nèi)化成自己的認知結構后，便促進了有意義學習的完成”. 西蒙數(shù)學理論重視學生個體的心理、認知等因素對學習過程的影響. 教師遵循“小步走”“例中學” 與“做中學”的核心思想，精心設置例題及梯度性問題，助力學生自我學習與知識建構，促其內(nèi)化知識、形成技能實現(xiàn)知識的有效遷移. 這與建構主義理論、最近發(fā)展區(qū)理論和奧蘇貝爾的有意義學習等理論是一致的.

西蒙數(shù)學理論提倡的“題組問題鏈”教學是一種高效教學方法，能幫助學生減輕負擔，點燃學生的學習熱情，使學生學得主動而且快樂，教師主要的任務是引導、組織. 這與“重視學生學習的主動性”“關注學生知識的形成過程”等新課標教育理念是一致的. “平行拐角求角度”這節(jié)課的內(nèi)容，難度較大，若是直接呈現(xiàn)每個題組的最后一題，很多學生可能會出現(xiàn)畏難情緒，學習的主動性將受到影響. 若這時教師直接“滿堂灌”地講授，則會出現(xiàn)另一種局面：學生依然無法真正掌握解題方法，更難以內(nèi)化成自己的知識結構，無法實現(xiàn)有意義的學習.

3. 精心編排問題，拾級助推突破重難點

基于西蒙數(shù)學理論的教學法提倡教師采用“小步走”，由易到難、從具體到抽象逐層遞進地精心編排題組，把具有一定難度的問題分解成幾個具有關聯(lián)性的子問題，由淺入深地促進學生的思維進步，從而完成教學目標. 因此題組中的問題編排是攻破重難點的關鍵. 這就要求教師在備課時深入研究教材和相關資料，了解學生現(xiàn)有的知識儲備和學習經(jīng)驗，根據(jù)教學目標、重難點的需要，預設一系列環(huán)環(huán)相扣、層層遞進、不斷深入的“問題鏈”，促進學生拾級而上.

筆者在“平行拐角求角度”這節(jié)課中，講評作業(yè)題目時發(fā)現(xiàn)有些學生對六個平行拐角基本圖形的結論不熟悉，導致他們講解題目解法時耗時過多，題組1的前三個問題的解答超出了預計時間，所以課堂上沒有足夠的時間讓學生完成題組2. 筆者分析，學生現(xiàn)有的認知水平，以及他們對該問題的掌握程度不夠，是一個重要的原因. 若重新調(diào)整，會在此內(nèi)容施教前，增加一節(jié)針對這六個平行拐角基本圖形的變式題訓練課，讓本教學設計能夠得到更好的實施背景，從而高效實現(xiàn)教學目標.

近年來，國內(nèi)外掀起了數(shù)學教育心理學研究的熱潮，主要涉及學生數(shù)學學習過程中的認知因素，對學生數(shù)學學習質(zhì)效的提升大有裨益. 因此，教師要踐行西蒙數(shù)學等理論，從認知心理的角度設計教學方案，在教學過程中不斷反思與實踐，探求更多的有效的方法，從而提高學生的數(shù)學學習能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

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