初中數學知識域結構化的再思考

【摘 要】知識結構化視域下的知識域再思考，是以數學知識主題為載體，以適應學生進行數學認知為路徑指向的。學生在數學學習過程中，通過建立同質結構的知識域，可以準確地對學習素材進行辨識，找到貼合自身需求與數學知識之間的認知聯結域。教學中以“知識相近”“層級派生”“隱性同質”等三種不同方式構建“知識域”，可以映照學生的數學思考，形成助推數學認知的新動能。

【關鍵詞】知識域；結構化；適應學習；深度學習

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）11-0051-05

學生的數學思考能否有效且快速發生，取決于自身是否適應所建構的知識儲備與以此建立的結構化的知識載體。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“學業質量描述”部分將“以結構化數學知識主題為載體，在形成與發展‘四基’的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等”作為評估學生核心素養達成及發展情況的重要方面。“知識域”是基于數學知識的情境場域，對知識域的結構化不只是對數學知識的建構，而是對以數學知識主題作為載體的“知識域”進行再次建構。對知識域進行再建構，可以有效呈現學生數學思考的思維路徑，形成助推學生數學學習的新動能。

一、學生“知識域”構建現狀

（一）橫向知識各自獨立

面對知識，不同學生的處理方式與處理結果是不同的。學有困難的學生，通常不會思考知識之間的聯系，在這部分學生的認知中，知識是各自獨立的，他們意識不到客觀知識之間是存在著密切關系的。那么在面對數學問題時，由于所面對的問題信息的獲取與處理得不到響應，長此以往，這部分學生就會對數學學習產生排斥情緒。

例如，在面對方程應用題時，學有困難的學生會認為已知量與未知量之間是不存在聯系的，更不知道如何利用等式表示它們之間的關系。從知識層面來說，設未知數、表示代數式、列等量關系式等步驟都體現出數學知識之間應有的聯系，學生若是不具備這樣的意識，數學思維的“進場”將難以啟動。

（二）縱向知識不成結構

相當多的學生在進行數學學習時，很少關注知識之間的縱向關系，也就是知識之間的層級派生關系。在他們的認知中，只要掌握一節課的知識點，能用這些知識點解決當堂課的問題就行，至于這些知識的生成、發展過程，是不需要去考慮的。甚至，一些教師的課堂設計對層級派生關系關注也不夠。

例如，在人教版教材九年級上冊“中心對稱圖形”這一節內容中，中心對稱圖形矩形、菱形、正方形等可以由一個三角形繞其某一頂點或某邊中點通過旋轉運動得到，這展現了知識間的派生關系。當學生不具備這樣的認識時，解決問題就缺少知識結構，思維“進場”就會慢。

（三）知識本質辨析不明

學習行為的結果是受到許多因素影響的，除了環境與人為因素，更主要的是知識本身。很多學生被知識之間錯綜復雜的關系吸引了太多的注意力，而忽視了這些數學知識的本質是什么。

學生經常會遇到這樣的情況——課上能聽懂，自己做題就會錯，老師稍微提醒，就茅塞頓開。究其原因，就是學生對數學知識的本質缺少認知。近年來，中考試題出現了許多運用作圓解決實際問題的題目。很多情況下，學生讀完題根本發現不了這里應該運用圓的知識解題，這就是因為他們平時在學習時沒有更多關注數學本質。當隱去部分問題條件時，學生難以辨析問題的本質。

二、知識域概念定位的再思考

當前，數學學習行為以建構主義理論為主要考量方式。而數學學科的特點也決定了學生進行數學知識的學習應是理性的、交互式的。尤其是知識與思維間的交互深度，更能體現出教學行為的效能。

（一）“全息思維”的內涵指向

數學教學視域下的全息思維，指從數學學習的相關知識與結構的角度來研究數學認知。運用全息思維的理論，整體審視數學教學過程與教學行為，能為學生提供數學認知的場域，并激發其思考問題的動力源。

1.認知活動的場域支持

教師要負責教學架構的建立，而學生則要在這個架構下開展學習活動，建立知識認知的有效通道。學生數學思維的發展需要教師順著其發展方向，不斷用貼近學生認知水平的問題引導學生思考、探究，將學生以往的經驗和積累變為思維生長的養分。［1］

學生的認知需求與認知理論密切相關，需求是人外部行為的動力源泉。學生在進行數學學習的過程中，要能夠進行自我的學習反思，用正確的方式從學習素材中獲取相關信息并加以綜合分析。學習方面的需求主要來自課堂教學，如何對教學進行設計與實踐決定了學生的認知需求得到怎樣的實現。

2.問題思考的動力源

學生若缺少思考的動力源，在對已習得的知識進行提取與整合時，就不能很好地與所面對的問題進行聯系，這樣的聯系顯得不夠牢固，對問題的解決幫助不大。這種現象產生的主要原因是缺少動力源對思維進行驅動，而這個動力源是指學生所積累的數學經驗。

例如，蘇科版教材九年級上冊“圓”一章中，揭示圓的概念是從三個維度進行的。根據九年級學生的認知水平，教師在教學中設計三種認知路徑，分別是：動手操作，體會圓的形成；線型描述，抽象圖形概念；集合思想，深挖概念本質。這樣的教學設計深化了學生對圓的認知，幫助學生有效地建構了關于圓的概念的全息思維。

（二）知識域的概念定位

知識域指的是具有共同特征或同質結構的知識的集合。知識域的有效建構，可以為學生提供進入學習狀態所需的知識環境與心理情境，為學習行為的發生提供思考的動力源。

1.要順應學生的認知通道

如何通過情境認知對學生思維中的動力源進行刺激、挖掘，從而有效培養學生深入思考的習慣？當學生對問題進行初步的思考后，教師可根據學生理解現狀，對問題進行加工變式，以形成與相關知識接近的問題結構，不讓學生感到突兀。這樣就可以在更大范圍發展學生的思維驅動力，同時也可以對剛產生的思維方式進行一定的鞏固。在經歷了這樣的過程之后，學生就積累了思考的活動經驗，能形成自我思考的方式，并將其內化為自身的數學素養。

2.搭建學生的認知腳手架

學生從體驗式訓練中獲得一定的問題思考方式后，以后在面對同類問題時，就具備了相應的辨別能力。這就使得學生能站在比先前更高的思維層次上去思考問題，除了對問題有了更清晰的認知，對自我思考的過程與結果也有更好的辨識與審視能力。

例如，在《數學實驗手冊》七年級下冊“在不規則四邊形中如何折出兩條平行線”一節的教學中，學生通過之前的操作，已經獲得了三角形折平行線的活動經驗。因此，學生是在已有認知的基礎上思考四邊形折疊問題，從而把動手折疊過程抽象為圖形變換說理的過程，再通過猜想、操作、驗證、交流，從更高思維層面體會平行線判定這一知識點的數學本質。

三、“知識域”結構化的路徑再透析

（一）“知識域”結構化的三種方式

1.知識相近式知識域

知識相近式知識域指的是最淺層且相似度高的知識的聚合，是基本知識與基本技能整合而成的知識域，是學生進行數學學習最基本也是認知“最先發生”的知識域。將這樣的一些知識進行“建群”，可以誘發學生的學習行為，激發學生的學習興趣。根據目標設計驅動問題，引導學生主動地展開探究思考，教師圍繞驅動問題設計逐層展開的學習任務，這些任務之間有一定層次性，又相互關聯，體現學習的歷程與進階。［2］

由于任務之間具備層次性與關聯性，這給學生的“最近發展區”提供了必要的發展空間，使得學生的認知發展成為可能。學生在開展學習行為之前，需要必要的知識準備，而常態的知識資源是松散的，學生在進行調用和提取時效率是低下的，并且知識信息被調用的效度是不充分的，容易產生偏差、缺損、混亂等情形。經過整合的知識域是有一定的邏輯關系的，是完整且帶有指向性的。

2.層級派生式知識域

數學學科的一個重要特征就是知識的派生。數學知識之間不是割裂的，知識之間是存在“等級”的，具備“派生繁衍”特征。大部分知識是縱向層級派生的，而派生的終端就是數學問題，因此，知識的縱向聯想對學生解決數學問題十分重要。將大量卻不同的知識點，系統、有序、指向明確地組合成知識域，可以重塑學生理解問題的思維模式。

學生的數學學習力受到多方面因素影響，最直接的就是客觀的數學知識，而對知識層級的辨識能力，應是學生思維培養的起點。

3.隱性同質式知識域

隱性同質指的是一些知識表面看上去并沒有相近的地方，但是具有一些隱藏的共同的特質。這些共同的特質并不是恒存在的，只有在面對某類或是某個數學問題時才呈現出來，也可以理解為即發的解題模型。這樣的一些知識聚合為知識域，對學生解題有很大的幫助。

我們將同質或關聯密切的知識整合到同一個知識域中，可以幫助學生找到數學知識間相互關聯的思維通道，建立起可以覆蓋學生思維盲區的知識架構，幫助學生認識到知識不是孤立的存在，拓寬其知識理解的外延，助推學生形成數學核心素養。

（二）“知識域”結構化形成助推數學學習新動能

1.在知識相近處助推

數學知識系統設計整合的成功與否，不只關系到學生能否順利地進行學習，更影響了其對數學的態度。學生不同的表征方式往往反映出他們對問題理解的不同水平。教師應該鼓勵學生采用不同的表征方式，并加強彼此之間的理解。學生在整合設計的架構下學習，可以從更高的視角重新審視自我的認知過程，對所學知識有更深入的理解。

例如，蘇科版教材八年級下冊“三角形的中位線”一節的教學中，學生在面對新知的時候，頭腦中會出現中線的相關知識，但是不全面。因此，在這之前教師需要幫助學生建立關于“中”字的圖形知識域，設置情境讓學生自主建立知識相近的群。教師要引導學生辨析它們之間的異同，明白中位線是兩個中點的知識，而其余幾個知識都是一個中點，發現群內知識的區別時更要注重聯系。這樣，知識域的建立才能起到應有的作用。

2.在層級派生處助推

初中階段圖形部分的知識體系是公理化的邏輯體系。由若干個基本事實與一些定義，可以派生出許多定理或推論，這些數學結論再進行復雜的組合，可以產生大量的終端數學問題。例如，尺規作圖派生出了圖形輔助線的知識系統。

同樣，在代數部分也呈現出明顯的派生現象。運算法則的字母化抽象，將法則的結論提升了一個理解層次，從“等級”視角而言又增加了縱向理解的難度。但同時最基本的算理還是從加法到乘法，學生如果對法則間的層級派生不加以理解，是很難把不同的運算法則辨析清楚的。

例如，蘇科版教材七年級下冊“乘法公式”一節中，大量的教學實例表明，學生在學習乘法公式的時候，顯得非常“亂”。分析其原因，就是運算法則的派生方式沒有內化到學生的認知思維中。運算學習的梯度是從七年級上冊的“字母表示數”開始的，運算法則的表現形式從學生最熟悉的具體數字演變成為用字母進行運算，這里就包含了從數值到字母的派生，學生在認知上就會出現困難。但是在學生知悉運算法則之間的層級派生關系后，在解決代數運算問題的時候，就能夠辨析法則、靈活運用法則。知識域的構建可以幫助學生減輕面對運算題的畏難心理，避免出現“無從下手”的現象，也可以很好地減少運算法則使用混亂的情況，真正從認知層面助推學生解決計算問題。

3.在隱性同質處助推

隱性同質知識域可以幫助學生探索數學問題的本原，讓學生初步體會到綜合性探究問題分析與解決的方式，逐步形成自我理解型的解題意識，感受到不同知識系統間的差異。面對問題，需要對知識進行類比轉化時，學生要注重理解所給條件的意義，緊扣本原問題，理清同質知識之間的關系。

例如，蘇科版教材八年級下冊“反比例函數的圖象與性質”一節中，在學生已經知曉“一次函數的圖象是直線”的基礎上，關鍵是要探究為什么反比例函數圖象是曲線，幫助學生理解知識背后的數學本原性問題，學會整合集合思想與極限思想。在學生完成對反比例函數圖象的認知過程之后，教師再類比一次函數圖象的一些基本性質，從圖象間交點個數的層面更深層次地挖掘反比例函數的基本性質。

深度學習實質上是結構性與非結構性知識的建構過程，也是復雜的信息加工過程，需對已激活的先前知識和所獲得的新知識進行有效和精細的深度加工。［3］當知識域介入教學活動時，能否改進學生的學習方式，不只要進行合理且有效的整合設計，更重要的是影響驅動教學模式的多種因素的優化組合。學生對于知識的認知，排除遺忘因素的影響，主要的影響來自課堂，學生很容易被一些模糊的知識、錯亂的關系等影響。把知識域與認知活動進行深度融合，找到知識聯結點，發展學生的思維場域，幫助學生獲得數學學習的全息思維，呈現在較為優化的認知系統中，有助于學生建立認知通道，同時也有利于學生實現數學深度學習。

【參考文獻】

［1］黃秀旺，謝蓓蓓.引導學生數學思維生長的問題設計［J］.江蘇教育，2018（6）：37.

［2］高叢林.學習路徑：基于學習者視角的教學新探索［J］.江蘇教育研究，2019（1A）：69.

［3］羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2016：114.

（注：本文系第34屆江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎文章，有刪改）

【作者簡介】王雷，江蘇省東海縣張灣中學（江蘇東海，222343）教師，高級教師。