一組根式化簡規律的猜想、證明與運用

文／湯曉麗

數式的運算在化簡后能得到一些規律（或性質）。比如乘法公式，我們在發現并證明之后，可以進一步運用乘法公式來簡化計算或求值。本文以二次根式的化簡為例，帶領同學們發現一些規律并證明其一般性，然后再將規律用于一些較難問題的快速求值。

【題組】觀察下列等式，回答問題：

（2）請按照上式反映的規律，試寫出用n表示的等式；

（3）驗證你的結果。

【回顧】上面的驗證過程中，有兩個重要的結論值得積累。

“結論1”比較簡單，可直接通分計算等式右邊，即可獲得證明。“結論2”可以對右邊展開計算，整理成左邊的形式；也可以從左邊變形出發，得到右邊，即

這樣也就再次解釋了上面“題組”的猜想：

接下來，運用上述結論解決一些有挑戰性的問題。