數學之美：楊輝三角的奇特性質

萬廣磊 摘編

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝1261 年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡在1654年發現這一規律，所以這個排列又叫作帕斯卡三角形。

就是這個看上去平平無奇的數字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為同學們揭曉。

最外層的數字始終是1

第二層是自然數列

第三層是三角數列

什么是三角數列？看此圖，這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形。比如：3=1+2，此等邊三角形可以分為2行，從上到下每一行分別是1 個點、2 個點；6=1+2+3，此等邊三角形可以分為3行，從上到下每一行分別是1 個點、2 個點、3 個點；10=1+2+3+4，此等邊三角形可以分為4 行，從上到下每一行分別是1 個點、2 個點、3 個點、4個點……

三角數列相鄰數字相加可得方數數列

什么又是方數數列呢？與三角數列相似，它的數字始終可以組成一個正方形。

每一層的數字之和是一個呈2倍增長的數列，為2的n-1 次方。

斐波那契數列

沒錯，如果按照一定角度將直線上的數字相加，我們也可以從楊輝三角中找到隱藏的斐波那契數列。

分形結構

可以被特定數整除的數字，形成了奇妙的分形結構。

可以被2 整除的數字

可以被3 整除的數字

可以被4 整除的數字

可以被5 整除的數字