如何命制一份高中數學期末考試試卷

摘 ?要：高中數學期末考試屬于學業水平考試，要按照學業質量標準和內容要求命制試卷. 在命制試卷時，要設計合理的試卷結構，制定命題雙向多維細目表，根據考查目標命制試題，制定合適的評分標準. 在命制試題時，要堅持導向性、科學性、整體性、適度性和創新性的命題原則，具體可以采用知識點整合、教材例題和習題變式、試題類比、構造逆命題、經典試題特殊化和一般化等命題方法.

關鍵詞：高中數學；期末考試；試卷設計；命題原則；命題方法

高中數學期末考試旨在評價學生經過一個學期的數學學習后在核心知識、思想方法和關鍵能力三個維度的學業質量水平. 高中數學期末考試屬于學業水平測試，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學學業質量水平是高中畢業的數學學業水平考試的命題依據. 因此，筆者圍繞高中數學期末考試的試卷設計、命題原則和命題方法，談一些思考與實踐.

一、高中數學期末考試的試卷設計

高中數學期末考試試卷，要遵照學業質量水平一的要求，圍繞核心知識、關鍵能力進行試卷結構設計，經歷制定命題雙向多維細目表，命題組卷、修改試題、審核成卷等過程，其設計流程如圖1所示.

[題型設計][核心知識][關鍵能力][難度設計][試卷的結構設計] [命題雙向多維細目表] [命制試題][修改試題][拼題組卷][審核成卷] [參考答案][評分標準] [圖1試卷設計流程圖]

1. 高中數學期末考試的試卷結構

試卷結構包括知識結構、題型結構、能力結構和難度結構四個方面. 基于高中數學課程內容和新高考數學試卷結構，確定高中數學期末考試的試卷結構如下.

知識結構：由學期教學內容確定，涉及函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等主題.

題型結構：包含單選題（第1 ～ 8題，共計40分）、多選題（第9 ～ 12題，共計20分）、填空題（第13 ～ 16題，共計20分）、解答題（第17 ～ 22題，共計70分）四種題型，卷面總分為150分.

能力結構：結合具體試題考查學生的抽象概括、推理論證、運算求解、直觀想象、數據分析和數學建模能力.

難度結構：試題難度分為容易題、中等題和難題3個層次. 高中數學期末考試試卷的難度宜控制在0.65左右，容易題占60%，中等題占30%，難題占10%. 容易題標準為[p>0.70]（[p]為難度），中等題標準為[0.35≤][p≤ 0.70]，難題標準為[p<0.35].

2. 高中數學期末考試的命題雙向多維細目表

高中數學期末考試試題的命制可以從問題情境、核心知識、核心知識評價要求、思想方法和關鍵能力等維度設計雙向多維細目表，如表1所示.

說明：（1）問題情境分為現實情境、數學情境和科學情境，問題分為簡單問題（A）、較復雜問題（B）和復雜問題（C）三個層次. 例如，“數學A”指數學情境中的簡單問題.

（2）核心知識的評價分為了解、理解、掌握和運用四個認知層次，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求.

（3）思想方法主要包括轉化與化歸、函數與方程、數形結合、分類與整合、特殊與一般、概率與統計等.

（4）關鍵能力主要指抽象概括、推理論證、運算求解、直觀想象、數據分析、數學建模等.

3. 高中數學期末考試的評分標準

（1）制定評分說明.

在高中數學期末考試中，選擇題電腦閱卷，評分客觀；填空題答案明確、具體，評分公正. 而解答題的評分與評卷人有關，因此要基于以下要點制定解答題的評分說明.

① 參考答案和評分標準給出了一種或幾種解法供參考，如果學生的解法和參考答案不同，可以根據試題主要考查的知識點和能力水平對照評分標準給予相應的分數.

② 對于解答題中的計算題，當學生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答出現較嚴重的錯誤，就不再給分.

③ 解答右端所注分數，表示學生正確做到這一步應得的累加分數.

（2）制定評分標準.

高中數學期末考試題的評分標準要依據考查目標和認知水平確定. 具體可以根據SOLO分類評價中的“單一結構水平、多元結構水平、關聯水平、擴展抽象水平”制定數學解答題的評分標準（詳見例11）.

二、高中數學期末考試的命題原則

1. 導向性原則

高中數學期末考試題應該依據學業質量標準和課程內容進行命制，注重對學生數學核心素養的考查，處理好數學核心素養與知識技能之間的關系，要充分考慮試題對教學的導向作用.

例1 ?已知函數[fx=3sinxcosx-cos2x].

（1）求函數[fx]的最小正周期；

（2）當[x∈-π6， π2]時，討論[fx]的單調性并求其值域.

【評析】此題為海南省2021—2022學年第一學期期末學業水平考試高一數學第20題，源于人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）必修第一冊第206頁例5和第227頁例9. 以三角函數知識的運用為問題情境，以三角函數性質的探討為設問角度，考查三角函數和三角變換的核心知識，考查函數與方程和轉化與化歸等思想，以及運算求解和直觀想象等能力. 此題僅改變了人教A版教材例題中的函數表達式，圍繞主干知識進行命制，設問方式常規，注重對通性通法的考查，突出試題的基礎性和綜合性，符合數學學業質量水平一的要求，具有較好的教學導向.

2. 科學性原則

高中數學期末考試題的命制應該強調科學性，避免試題中出現政治性、科學性錯誤，同時要注意表述簡潔、明確，規范使用數學語言，不引起歧義. 試題所給條件要足以推出結論，且不出現冗余條件.

例2 ?已知函數[fx]的定義域為[R]，且[fx+1+][fx-1=2，] [fx+2]為偶函數，若[f0=2，] 則[k=1115fk]等于（ ? ?）.

（A） 116 （B） 115

（C） 114 （D） 113

【評析】此題為廣東省廣州市2023屆高三調研測試（數學）第7題，以抽象函數為問題情境，以求和為設問角度，考查函數的周期性，考查轉化與化歸和數形結合思想，以及邏輯推理、直觀想象和數學抽象素養. 此題表述規范，關鍵在于基于[fx+1+fx-1=2]發現函數[fx]的周期性，即[fx]是周期函數，且周期為4. 從解題過程來看，由[f0=2]及函數的周期性就可得答案C，因此此題中的條件“[fx+2]為偶函數”冗余，應該刪掉.

3. 整體性原則

高中數學期末考試題的命制要整體把握試題的評價功能，關注核心知識、思想方法和關鍵能力的評價要求，突出問題本質，注重知識聯系，合理設計問題，以提高試題的區分度.

例3 ?已知函數[fx=cos2x+acosx，] 當[a=2]時，[fx]的最小值為 ? ? ?；若函數[fx]的最大值為[2]，則[a]的值為 ? ? ? .（第一空2分，第二空3分.）

【評析】此題為福建省漳州市2021—2022學年第一學期期末考試高一數學第16題，以三角函數為問題情境，以函數的最值為設問角度，將余弦函數、三角變換、二次函數等核心知識進行整合，考查函數與方程、化歸與轉化和分類討論思想，以及運算求解和直觀想象等能力. 此題遵循整體性的命題原則，第一空基于基礎性要求設問，第二空基于綜合性要求進行逆向設問，這種并列式的設問方式有利于提高試題的區分度，有效評價學生的學業質量水平.

4. 適度性原則

高中數學期末考試題要能有效評價學生的學業質量水平. 因此，高中數學期末考試題的命制要注重難度適中，以保證學業水平考試的信度和效度，使試題具有良好的區分度和一定的覆蓋面.

例4 ?如圖2，在平面直角坐標系中，角[α，β]的始邊均為[x]軸正半軸，終邊分別與圓[O]交于[A，B]兩點，若[α∈7π12，π，β=π12]，且點[A]的坐標為[A-2，m].

（1）若[tan2α=-43]，求實數[m]的值；

（2）若[tan∠AOB=-34]，求[cos2α]的值.

【評析】此題為湖北省黃岡市2020—2021學年第一學期期末考試高一數學第19題，以角的終邊與圓相交為問題情境，以求值為設問角度，考查三角函數的定義和三角變換等核心知識，考查函數與方程和轉化與化歸思想，以及運算求解能力. 此題難度適中，注重基礎性和綜合性，符合數學學業質量水平一的要求.

5. 創新性原則

高中數學期末考試要編制適量的創新性試題. 創新性主要體現在問題情境、設問角度和解法建構上，能有效評價學生的知識遷移能力和創新意識.

例5 ?已知函數[fx=xex]，其中[e]是自然對數的底數.

（1）求函數[fx]的最小值；

（2）設函數[gx=fx-xlnx-kx]，當[k≤ 2]時，證明：[gx>0].

【評析】此題為廣東省廣州市“六區”2021—2022學年第二學期期末考試高二數學第22題，源于人教A版教材選擇性必修第二冊第104頁第18題. 此題改變了原題中的函數結構，以導數應用為問題情境，以求函數的最小值和證明不等式為設問角度，考查導數的核心知識，考查函數與方程和轉化與化歸思想，以及推理論證、數學建模、運算求解、直觀想象等能力，能有效評價學生的創新意識，體現了創新性的命題原則.

三、高中數學期末考試的命題方法

高中數學期末考試題的命制應該考慮問題情境、設問角度和考查目標三個要素，常用的命題方法有如下六種.

1. 整合多個核心知識點

例6 （多選題）已知[x，y∈R]，且[0

（A）[sinx

（C）[2x-y<1] （D）[xx+1

【評析】此題為江蘇省南京市2021—2022學年第一學期期末考試高一數學第9題，其采用知識點整合的命題方法，以比較大小為問題情境，以不等關系為設問角度，綜合考查正弦函數、冪函數、指數函數等核心知識，以及函數思想和推理論證能力，體現了基礎性的考查要求.

2. 改變教材例題和習題的條件或結論

例7 ?如圖3，在四棱錐[B-ACDE]中，[DE]∥[AC]，[AC][⊥]平面[BCD]，[AC=2DE=4]，[BC=2]，[DC=1]，[∠BCD=60°]，[F]為[AC]的中點.

（1）證明：[DF]∥平面[ABE]；

（2）過點[D]作平行于平面[ABE]的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面[ABE]之間的幾何體的體積.

【評析】此題為廣東省廣州市“六區”2021—2022學年第二學期期末考試高一數學第21題，是人教A版教材必修第二冊第138頁例3的變式題. 此題將原題中的六面體改為四棱錐，同時增設了位置關系和度量關系條件，改變了設問角度，以基本空間圖形為問題情境，以位置關系的證明和幾何體體積計算為設問角度，考查直線與平面平行（垂直）、棱錐體積公式等核心知識，考查轉化與化歸思想，以及推理論證、運算求解和直觀想象等能力，體現了綜合性的考查要求.

3. 類比高考題或模擬題

例8 ?已知雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]的右焦點為[Fc，0]，離心率為[2]，直線[x=a2c]與[C]的一條漸近線交于點[P]，且[PF=3].

（1）求雙曲線[C]的標準方程；

（2）設[Q]為雙曲線[C]右支上的一個動點，在[x]軸的負半軸上是否存在定點[M]，使得[∠QFM=2∠QMF？]若存在，求出點[M]的坐標；若不存在，試說明理由.

【評析】此題為江蘇省徐州市2021—2022學年第一學期高二數學第22題，類比2021年1月“八省市”高考數學模擬演練第21題的結構命制，改變了部分條件和設問方式. 以雙曲線為問題情境，以求雙曲線標準方程和對雙曲線幾何性質的探究為設問角度，考查雙曲線的核心知識，考查方程思想、數形結合思想和分類討論思想，以及推理論證、運算求解和直觀想象等能力，體現綜合性和創新性的考查要求.

4. 交換命題的條件和結論

例9 ?已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1] [a>b>0]的離心率為[32]，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，M為橢圓C上一點，[△MF1F2]的周長為[4+23].

（1）求橢圓C的方程；

（2）P為圓[x2+y2=5]上任意一點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為[A，B]，判斷[PA · PB]是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

【評析】此題為2021年廣東省廣州市普通高中畢業班調研測試數學試卷第21題. 以橢圓為問題情境，以求軌跡方程和定值為設問角度，考查橢圓的定義與性質、直線與橢圓的位置關系等核心知識，考查轉化與化歸和數形結合思想，以及運算求解能力. 此題第（2）小題源于經典的軌跡問題：橢圓[b2x2+a2y2=a2b2] [a>b>0]兩條互相垂直切線的交點的軌跡方程是[x2+y2=a2+b2]（橢圓的蒙日圓），從構造逆命題的視角設計問題.

5. 經典試題特殊化

例10 ?在等差數列[an]中，已知[a3+a4=12]，則數列[an]的前[6]項之和為（ ? ?）.

（A）[12] （B）[32]

（C）[36] （D）[72]

【評析】此題為廣東省廣州市“六區”2021—2022學年第一學期期末考試高二數學第3題，將經典試題“在等差數列[an]中，若[p，q，s，t∈N?]，且[p+q=][s+t]，則[ap+aq=as+at]”特殊化，以等數差列為問題情境，以數列求和為設問角度，考查等差數列的核心知識，考查轉化與化歸思想，以及運算求解能力，體現基礎性的考查要求.

6. 經典試題一般化

例11 ?已知直線[l]與橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1 a>b>0]交于[A，B]兩點，且經過橢圓[C]的右焦點[F].

（1）若[l]與[x]軸垂直，且點[A]的坐標為[1， 22]，求[C]的方程；

（2）若[O]為坐標原點，在[x]軸上是否存在異于點[F]的點[M]，使得[∠OMA=∠OMB]？若存在，求點[M]的坐標；若不存在，說明理由.

解：（1）當直線[l]與[x]軸垂直時，依題意知橢圓[C]的右焦點為[F1，0]，

所以[a2-b2=1]. …1分

將點[A]的坐標代入，得[1a2+12b2=1]. …2分

所以[a2=2，b2=1].…3分

所以橢圓[C]的方程為[x22+y2=1].…4分

（2）設橢圓[C]的右焦點坐標為[Fc，0].

假設存在點[Mm，0][m≠ c]，使得[∠OMA=∠OMB]成立.

當直線[l]與[x]軸垂直時，存在無數個點[Mm，0][m≠c]，使得[∠OMA=∠OMB].…5分

當直線[l]與[x]軸不垂直時，設直線[l]的方程為[y=kx-c].

若[k=0]，則[A，B]為橢圓左、右頂點，故存在點[Mm，0][m>a]，使得[∠OMA=∠OMB].…6分

若[k ≠ 0]，將[y = kx - c]代入[x2a2 + y2b2 = 1]，得[a2k2+b2x2-2ca2k2x+a2c2k2-b2=0].…7分

設[Ax1，y1，Bx2，y2]，

則[x1+x2=2ca2k2a2k2+b2]，[x1x2=a2c2k2-b2a2k2+b2]. …8分

因為[∠OMA=∠OMB]，

所以直線[AM，BM]的斜率之和為0，

即[kAM+kBM=y1x1-m+y2x2-m=y1x2-m+y2x1-mx1-mx2-m=0.]

… 9分

所以[y1x2-m+y2x1-m=0]，

即[kx1-cx2-m+kx2-cx1-m=0].

因為[k≠ 0]，

所以[2x1x2-m+cx1+x2+2mc=0]，

即[2a2c2k2-b2a2k2+b2-2ca2k2m+ca2k2+b2+2mca2k2+b2a2k2+b2=0].

…10分

所以[2a2c2k2-b2-2ca2k2m+c+2mca2k2+b2=0.]

解得[m=a2c].…11分

故存在點[Ma2c，0]，使得[∠OMA=∠OMB].

…12分

【評析】此題為廣州市黃埔區2022—2023學年第一學期期末高三數學第22題，是對2018年高考數學全國Ⅰ卷理科第19題的一般化. 以橢圓為問題情境，以求橢圓方程與判定對稱軸是否平分“焦點弦張角”為設問角度，考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等核心知識，考查轉化與化歸和數形結合思想，以及抽象概括、推理論證和運算求解等能力，體現綜合性和創新性的考查要求.

四、結束語

高中數學期末試卷的命制是高中數學教師應該具備的基本素養. 試題命制方法多樣，一般要經歷選題、改題和編題的過程，是一項十分艱辛的工作. 如何依據數學學業水平考試要求命制一份高質量的高中數學期末試卷，是值得深入探討的問題.

參考文獻：

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［3］教育部考試中心. 高考數學測量理論與實踐［M］. 北京：高等教育出版社，2004.

［4］曾辛金，肖凌戇. 基于SOLO評價理論的數學解答題評分標準研究：以一道函數與導數解答題為例［J］. 中國數學教育（高中版），2019（7 / 8）：10-13.