一題一課，讓教學走向深入
——以“繩捆圓柱的周長問題”為例

浙江杭州市采荷第一小學（310016） 方 菲

一題一課，就是教師在一節課上帶領學生圍繞一道數學題或者一類數學題展開深入的交流討論，實現“做一題通一類”的教學效果。一題一課不僅能讓學生理解數學本質，還能讓教學走向深入。

一、課前思考

為方便銷售，售貨員將啤酒瓶捆成如圖1 所示的形狀（從瓶底方向看），如果每組分別捆5 圈繩子（接頭處不計），每組至少需要多長的繩子？你發現了什么？

圖1

這是人教版數學教材六年級上冊第66 頁中的一道練習題，學生在解決這道練習題的過程中，需要發現繩子的長度是由一個圓的周長和若干條直徑組成的，最外圈有多少個圓柱形物體，就有多少條直徑。在一題一課的課堂上，教師不應只教學這道練習題，還要從學生的認知起點出發，幫助學生將此問題轉變成若干個已經學過的數學知識點，為后期要學習的知識做好鋪墊。為此，筆者梳理了小學階段有關周長的教學內容（見表1）。

表1 小學階段有關周長的教學內容

筆者發現，學生在三年級接觸的平面圖形的周長以及在五年級接觸的立體圖形的棱長總和，涉及的線都是直的，而在六年級接觸的圓的周長和圓柱的底面周長，涉及的線是彎曲的。同時，筆者以這道練習題對六年級其中兩個班級共90 名學生進行前測：捆2 瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+2×7）×5=179.9（厘米），學生解答正確率是64.4%；捆3瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+3×7）×5=214.9（厘米），學生解答正確率是50%；捆4 瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+4×7）×5=249.9（厘米），學生解答正確率是32.2%。

隨著啤酒瓶數量的增加，學生計算的正確率為什么會降低？筆者嘗試圍繞這道練習題設計了一節“繩捆圓柱的周長問題”的課，以幫助學生更好地用數學知識解決生活中的問題。

二、教學設計

1.確定教學目標

學生要正確解決這道題，需要具備語文閱讀理解能力和將文字轉變成圖、圓的周長公式等能力，如此才能發現捆扎的規律。對此，筆者確立了“繩捆圓柱的周長問題”一課的教學目標：（1）經歷提出問題和分析、解決問題的過程；（2）溝通數學規律和生活原型，探索解決問題的方法和策略；（3）在解決問題的過程中感受數學與生活的聯系，提高學生的數學學習興趣。

2.確定教學過程

（1）分析并解決問題

題目：超市在開展促銷活動，薯片“買一送一”。售貨員用膠帶將2 罐薯片緊緊地捆在一起，薯片罐的底面直徑是7厘米，只捆1圈（接頭處不計），需要用多長的膠帶？

師：你能想象出將2 罐薯片捆扎在一起，從底面看是什么形狀嗎？在紙上畫一畫。

生1：從底面看是兩個緊緊貼在一起的圓形。

師：那捆綁的膠帶是什么形狀？膠帶的長度是多少呢？

生2：捆綁的膠帶的圖形可以看成是2 個半圓和1個正方形的組合圖形。

生3：膠帶的長度是3.14×7+4×7=49.98（厘米），我的理解是2 個半圓拼起來是一個圓，這個圓的周長是3.14×7，再加4條直徑的長度。

生4：我不同意這個答案，膠帶的長度應該是3.14×7+2×7=35.98（厘米），即1 個圓的周長加其2條直徑的長度。

師：我們先來看看同學們畫的這兩幅圖（如圖2），你覺得哪一幅可以清楚地表達解題過程？

圖2

生5：我覺得第二幅圖好，因為它清楚地畫出了2個半圓和1個正方形。

【設計意圖】“繩捆圓柱的周長問題”一課讓學生經歷了將生活原型轉化為數學問題的過程。為了解決捆扎2 個圓柱所用的膠帶總長的問題，學生在畫圖中發現膠帶總長分為直線和曲線兩部分，直線部分是2條直徑，曲線部分是1個圓的周長，從而計算出膠帶總長。

（2）激活經驗，探索解題策略

【案例1：捆扎3罐薯片的方法】

師：如果捆扎3罐薯片，可以怎么捆？

學生的兩種方法（如圖3）：第一種是分成了上下兩層，從底面看像一個三角形，所用膠帶的長度等于1 個圓的周長加上3 條直徑，為3.14×7+3×7=42.98（厘米）；第二種是排成一排捆扎，從底面看是2 個半圓和1 個長方形，所用膠帶的長度等于1 個圓 的 周 長 加 上4 條 直 徑，為3.14×7+4×7=49.98（厘米）。

圖3

【案例2：捆扎4罐薯片的方法】

師：如果捆扎4罐薯片，可以怎么捆？

學生的兩種方法（如圖4）：第一種是排成一排捆扎，從底面看是2 個半圓和1 個長方形，所用膠帶的長度等于1 個圓的周長加上6 條直徑，為3.14×7+6×7=63.98（厘米）；第二種是分成上下兩層，所用膠帶的長度等于1 個圓的周長加上4 條直徑，為3.14×7+4×7=49.98（厘米）。

圖4

【在比較中發現捆扎的規律】

師：觀察捆扎2罐、3罐、4罐薯片所用膠帶的長度（見表2），你有什么發現？

表2 捆扎不同罐數薯片所用膠帶的長度

生1：膠帶的總長都分成直線和曲線兩部分，曲線部分都是1 個圓的周長。疊起來捆所用的膠帶比排成一排捆所用的膠帶少，而且每增加1 罐，疊起來捆的膠帶總長就會增加1條直徑的長度。

師：你能利用這些規律快速算出捆6 罐排成一排的薯片所用的膠帶總長嗎？

生2：排成一排的話，每增加1 罐，膠帶總長增加2條直徑的長度，捆6罐所用的膠帶總長是3.14×7+10×7=91.98（厘米）。

通過比較，學生得出了這樣兩個捆扎結論：一是計算上不管幾罐捆在一起，所用膠帶的長度都是1 個圓的周長加上若干條直徑；二是在捆扎方法上，多排捆扎比單排捆扎更節約膠帶。

【探討多排比單排捆扎更節約膠帶的原因】

師：為什么多排比單排捆扎更節約膠帶？其實這個問題我們在三年級的時候就學過了，當時我們是研究拼16個小正方形，哪一種拼法周長最短。

生1：周長最短的圖形是正方形，因為16 個小正方形的周長是固定的，拼成4×4 的時候中間的公共邊是最多的，所以外面的周長自然就短了。

師：面積相等的圖形，長和寬越接近，周長越短，在這道題中，我們可以把圓看成正方形來理解。

【設計意圖】在這個環節中，筆者帶領學生經歷四個學習過程：研究捆扎3 罐薯片的方法；研究捆扎4 罐薯片的方法；在比較中發現捆扎的規律；探討多排比單排捆扎節約膠帶的原因。學生在獨立思考、小組學習、全班交流中體會捆扎方法的多樣性，發現捆扎方法中的規律。另外，為了解釋多排比單排捆扎更節約膠帶的原因，筆者通過溝通前后知識，讓學生體會數學思想方法的相關性。

（3）聯系生活，逆向解決問題

師：現在，你們明白生活中為什么將蔬菜、小棒、鋼管等捆扎成正方形了嗎？

師（出示題目）：“啤酒節”活動促銷賣啤酒，啤酒瓶的直徑是5 厘米，膠帶只繞一圈（接頭處不計），若售貨員只有45.7 厘米長的膠帶，請你從圖5中幫她選擇合適的捆法。

圖5

生1：我是這樣想的，膠帶長度是45.7 厘米，我就把每一種捆法的膠帶長度都算出來。第一種捆法的膠帶長度是3.14×5+7×5=50.7（厘米）；第二種捆法的膠帶長度是3.14×5+8×5=55.7（厘米）；第三種捆法的膠帶長度是3.14×5+6×5=45.7（厘米）；第四種捆法的膠帶長度是3.14×5+8×5=55.7（厘米）。因此，應該選第三種捆法。

生2：根據剛才的捆扎規律，每種捆法都有1 個圓，我先把圓的周長減掉，45.7-3.14×5=30（厘米），圓的直徑是5厘米，30÷5=6（條），膠帶只夠捆綁6條直徑的長度，而第三種捆法有6條直徑，正好符合。

【設計意圖】為了讓學生對“繩捆圓柱的周長問題”有全面深刻的理解，筆者出示的題目中告訴學生膠帶的總長，讓學生利用已經發現的捆扎規律選擇符合要求的捆法，這是要求學生運用逆向思維解決數學問題，進一步幫助學生鞏固捆扎的規律和計算方法。

三、教學反思

這節數學課中似乎只講了一道數學題，但是筆者通過這一道題引出相關的一類題，在層層推進中使學生對“繩捆圓柱的周長問題”有更加深刻的理解，這就是一題一課教學活動的優勢，不僅挖深了主體知識，還串聯了相關知識。

1.堅持學生立場，引發真實學習

數學課堂是學生探究數學知識和發現數學奧秘的主陣地。因此，教師在教學過程中要尊重學生的認知特點，設計適合他們探究的學習內容。為了精準把握學情，筆者通過課本中的一道“繩捆圓柱的周長問題”進行前測，了解了學生在解決這個問題時遇到的困難，使教學有更加充分的預設和鋪墊。在學習方式上，筆者放手讓學生自主探究，先暴露他們的知識盲區，再利用課堂時間進行糾錯，最后促進學生對數學知識的理解。

2.整體建構知識，拓寬思維深度

一題一課聚焦一類題，形成一節課，可拓寬學生數學思維的深度、廣度和靈活度。在這一課中，筆者先以生活原型引出數學問題，再讓學生經歷從簡單問題到復雜問題的解決過程，然后發現不同捆法的計算方法和規律，試著利用捆扎的規律逆向解決問題，整體建構了“繩捆圓柱的周長問題”的知識框架，有利于學生在學習中形成結構性思維。

3.聯系生活實際，解決生活問題

數學源于生活，又回歸于生活。在課堂開始，筆者通過讓學生欣賞生活中的鋼管、白菜、啤酒瓶捆法等引出捆扎薯片的生活情境，再從捆扎薯片罐的底面抽象出圓形。在課堂最后，筆者引導學生通過計算周長推測啤酒瓶的捆扎方式。整節數學課在探究中不斷將生活問題轉化為數學問題，從而利用數學知識解決實際問題。

綜上，一題一課以一道數學題或一類數學題為學生開啟數學學習的新天地。在數學課堂上，教師應深入地挖掘或變換學習素材，在一類數學學習中實現思維走向深刻，在求聯中溝通知識之間的關系，在拓展中促使學生走向高階思維。