借助網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板探究點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑

摘 要：文章用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板對(duì)2018年貴陽(yáng)市的一道中考題進(jìn)行探究，展示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，直觀地得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑.采用“模型提取——解題關(guān)鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓(xùn)練”的形式，讓讀者知一型，悟一法.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板；貴陽(yáng)中考；平行四邊形；運(yùn)動(dòng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0095-03

把數(shù)學(xué)變得更容易學(xué)習(xí)，是張景中院士從20世紀(jì)70年代就開(kāi)始思考并著手實(shí)踐的事情，這也是“教育數(shù)學(xué)”的來(lái)由.隨著教育信息化和數(shù)學(xué)學(xué)科信息技術(shù)的發(fā)展，為促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教與學(xué)的創(chuàng)新融合帶來(lái)了契機(jī).網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板（前身是超級(jí)畫(huà)板）是最近幾年發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科專(zhuān)用的優(yōu)秀的信息技術(shù)平臺(tái)，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)發(fā)共享的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室.筆者利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板對(duì)2018年貴陽(yáng)市中考的一道與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)的試題進(jìn)行探究，采用“模型提取——解題關(guān)鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓(xùn)練”的形式，讓讀者知一型，悟一法.

1 試題呈現(xiàn)

（2018年貴陽(yáng)市中考題）

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A是反比例函數(shù)y=m3-m2x（x>0，m>1）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，B（0，-m）是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)， 連接AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使AD=AC，過(guò)點(diǎn)A作AE平行于x軸，過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線(xiàn)交AE于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）DE=_______，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；

（3）連接BD，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線(xiàn)，與（2）中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)m為何值時(shí)，以A，B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形［1］？

2 模型提取

已知A，B，D三點(diǎn)確定（含m的式子），在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)F，當(dāng)m為何值時(shí)，以A，B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

3 探究實(shí)驗(yàn)

第（2）問(wèn)：如圖2所示，拖動(dòng)變量尺m，觀察點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑，猜測(cè)這是什么函數(shù)的圖象.

第（3）問(wèn)：如圖3所示，拖動(dòng)變量尺m，觀察點(diǎn)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3（點(diǎn)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3是過(guò)△ABD的頂點(diǎn)分別作對(duì)邊平行線(xiàn)的交點(diǎn)），有幾次機(jī)會(huì)落在點(diǎn)D的路徑上.

4 解題關(guān)鍵

（1）將m=3代入反比例函數(shù)解析式即可求出.

（2）本題用幾何方法從圖形上確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑很難，但點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)是由字母m的變化引起的， 點(diǎn)D的坐標(biāo)和m之間就有著某種關(guān)聯(lián)，可通過(guò)幾何關(guān)系建立二者的內(nèi)在聯(lián)系，可得到D的坐標(biāo)x和y關(guān)于m的關(guān)系式，消掉參數(shù)m即得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）雖然A，B，D三點(diǎn)隨m的變化而變化，但都可以用m的式子表示，把它看作定點(diǎn)， 問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知三定點(diǎn)，求一點(diǎn)使這四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的問(wèn)題.因?yàn)锽D∥AF，因此BD和AF是平行四邊形的對(duì)邊，即只有AD和AB是對(duì)角線(xiàn)兩種情況，可以通過(guò)構(gòu)造全等三角形，或平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)在水平和堅(jiān)直方向上平移的距離相等，或平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和也相等解決.

5 完整解答

解 （1）當(dāng)m=3時(shí)，y=27-9x=18x，∴x=3時(shí)，y=6，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6）.

（2）如圖4所示，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)N.

∵DE∥y軸，

∴∠NCA=∠EDA，∠CNA=∠DEA=90°，∵AD=AC，∴△NCA△EDA，

∴DE=CN.∵點(diǎn)Am，m2-m，B（0，-m），

∴BN=m2-m-（-m）=m2，AN=m.在Rt△CAB中，AN⊥y軸，

∴△ANC～△BNA，∴AN2=CN·BN，

∴m2=CN·m2，∴CN=1，

∴DE=1，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為2m，m2-m， 點(diǎn)D坐標(biāo)為2m，m2-m-1.

∴x=2m，y=m2-m-1.把m=12x代入y=m2-m-1，

∴y=14x2-12x-1（x>2）.

（3）解法1 ∵x>2，

∴直線(xiàn)AF與二次函數(shù)y=14x2-12x-1（x>2）只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖5所示，設(shè)直線(xiàn)AF交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥y軸交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，則∠FQA=∠BHD=90°.

當(dāng)四邊形ABDF是平行四邊形時(shí)，AF=DB.

∵FQ∥y軸，∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD，

∴∠HMF=∠HBD，∴∠AFQ=∠DBH，

∴△FQA△BHD，∴AQ=DH=2m，F(xiàn)Q=BH，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3m， 縱坐標(biāo)為94m2-32m-1，

∴FQ=94m2-32m-1-m2-m=54m2-12m-1.

∵D2m，m2-m-1，B（0，-m），

∴BH=m2-m-1-（-m）=m2-1，

∴54m2-12m-1=m2-1， 解得m=2或m=0（舍去）.

∴當(dāng)m=2時(shí)，以A，B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

解法2 ?如圖6所示，分別過(guò)△ABD的頂點(diǎn)A，B，D作對(duì)邊的平行線(xiàn)交于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)A作GH∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BI∥x軸，作F2H∥y軸，F(xiàn)1G∥y軸，交點(diǎn)分別為G，H，I.

∵四邊形ABDF1和四邊形AF2BD是平行四邊形，易證△AGF1△AHF2△BID，

∴F1G=HF2=DI，AG=HA=BI.

∵x>2，Am，m2-m，B（0，-m），D2m，m2-m-1，

設(shè)F1xF1，yF1，F(xiàn)2xF2，yF2，

①當(dāng)四邊形ABDF1是平行四邊形時(shí)，有

2m-0=xF1-m，m2-m-1+m=yF1-m2+m，

即F13m，2m2-m-1.

∴2m2-m-1=14×（3m）2-12×3m-1，

解得m=2或m=0（舍去）.

②當(dāng)四邊形AF2BD是平行四邊形時(shí)，有

2m-0=m-xF2，m2-m-1+m=m2-m-yF2，

即F2（-m，1-m）.∵m>1，∴-m<-1.

而y=14x2-12x-1中x>2， 不符合要求， 故這種情況不存在.

綜上所述， 當(dāng)m=2時(shí)， 以A，B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

6 解后反思

本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形判定及用字母表示坐標(biāo)，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)、利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．

當(dāng)用幾何方法難以確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)，一般用相似（全等）或線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系得出動(dòng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間滿(mǎn)足的關(guān)系，即把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后從函數(shù)的關(guān)系入手.

在日常教學(xué)或者解題教學(xué)中，遇到動(dòng)點(diǎn)的路徑問(wèn)題，教師應(yīng)該借助網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板、幾何畫(huà)板或者GGB等軟件，做動(dòng)畫(huà)給學(xué)生展示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，讓“靜”的幾何元素“動(dòng)”起來(lái)，不僅形象生動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

7 鞏固訓(xùn)練

（2021年銅仁市中考題）如圖7， E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE=BF，連接CE，DF，相交于點(diǎn)G，連接AG，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線(xiàn)段AG的最小值為_(kāi)______.

答案為2.解題過(guò)程留給讀者完成.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 丁萬(wàn)永.函數(shù)情境下的動(dòng)點(diǎn)路徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（27）：51-52.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：李健雄（1982.1-），男，福建省莆田人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.