探究平行四邊形的存在性問題

摘 要：拋物線中的動點問題，尤其是與存在性有關的動點問題，是中考的一個難點.文章以2016年貴州省安順市的一道中考題為例，借助網絡畫板，從試驗探究、思路分析、一題多解的角度來進行深度探究.

關鍵詞：拋物線；動點；平行四邊形；存在性；探究

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0092-03

拋物線中平行四邊形的存在性問題，是中考的一個難點，也是熱點，常常以壓軸題的形式出現.如何突破這一類試題呢？筆者以2016年安順市一道中考題為例進行探究.

1 試題呈現

拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C0，-52三點.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標.

（3）若M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在， 請說明理由［1］.

2思路分析

第（1）（2）問略.第（3）問：①如圖1所示，AC為對角線時，取AC中點O′，連接M4O′，交拋物線于點N4；如圖2所示，若AC為邊，平移AC得到另外三種情況.過四邊形頂點作橫平堅直線 （平行于坐標軸）構造全等三角形解決問題.

②設M（x，0），分別以AC，AM，AN為對角線，分三種情況根據平行四邊形兩組相對頂點橫坐標之和相等，縱坐標之和也相等，表示出點N的坐標，代入拋物線解析式求解即可.

③如圖3所示，從路徑（軌跡）角度分析.假設以A，C，M，N為頂點的平行四邊形存在. 在x軸上任取一動點M，把M看作定點，然后分別以AM，AC，CM為對角線作出三個平行四邊形，設第四個頂點分別為N1，N2，N3.若拖動動點M可以發現，動點N1，N2，N3運動的路徑均為與x軸平行的直線.易得N1，N3到x軸的距離等于OC=52， 到x軸的距離為52的直線有兩條.易知，點N1的路徑為直線y=52，點N2，N3的路徑為直線y=-52.所以求點N的坐標就可以轉化為由拋物線的解析式與點N的路徑解析式組成的方程組的解的問題.

3 一題多解

解 （1）y=12x2-2x-52.（2）點P的坐標是2，-32.過程略.

（3）解法1 ?存在點N，使A，C，M，N四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形.

①當AC為邊時，如圖2所示，若點N在x軸下方.

又對稱軸為直線x=2，C0，-52，所以點N14，-52.當點N在x軸上方時，過點N2作N2D⊥x軸于點D.

∵AC=M2N2，∠CAO=∠N2M2D，∠COA=∠N2DM2，

∴△AOC△M2DN2，∴N2D=OC=52，即N2點的縱坐標為52.

∴12x2-2x-52=52，解得x=2+14或x=2-14，

∴N22+14，52，N32-14，52.

②如圖1所示，當AC為對角線時，由四邊形AM4CN4為平行四邊形，知CN4∥AM4， 所以點N4的縱坐標為-52，∴N44，-52.

綜上所述， 符合條件的點N的坐標為4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法2 設M（x，0），NxN，yN.

①若AC為對角線，則有-1+0=x+xN，0-52=0+yN，即xN=-1-x，yN=-52.

將N-1-x，-52代入拋物線表達式，得12（-1-x）2-2（-1-x）-52=-52，

解得x=-1或-5，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（與C重合， 舍去）或N4，-52.

②若AN為對角線，則有-1+xN=x+0，0+yN=0-52，即xN=x+1，yN=-52.，

將Nx+1，-52代入拋物線表達式，即12（x+1）2-2（x+1）-52=-52，

解得x=-1或3，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（與C重合， 舍去）或N4，-52.

③若AM為對角線， 則有-1+x=xN+0，0+0=yN-52，即xN=x-1，yN=52.

將Nx-1，52代入拋物線表達式，即12（x-1）2-2（x-1）-52=52，

解得x1=3+14或x2=3-14， 即xN=2+14或xN=2-14，

所以N2+14，52或N2-14，52.

綜上所述， 符合條件的點N的坐標為4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法3 如圖4所示，在x軸上任取一點M，連接CM，分別過點A，C，M作CM，AM，AC的平行線，得平行四邊形ACMN1，四邊形CMAN2，四邊形ACN3M，分別過N1，N2，N3作x軸的垂線，垂足分別為F，G，E.過點M作MH⊥N2N3于點H.易證明N1F=N2G=N3E=OC=52.

所以N1運動的路徑為直線y=52，N2，N3運動的路徑為直線y=-52.

因為N1，N2，N3在拋物線y=12x2-2x-52上，所以N的坐標滿足y=52，y=12x2-2x-52或y=-52，y=12x2-2x-52，

解得x1=2+14，y1=52，x2=2-14，y2=52，x3=0，y3=-52（舍去），x4=4，y3=-52.

綜上所述， 符合條件的點N的坐標為4，-52，2+14，52或2-14，52.

解法4 如圖3所示，因為A（-1，0），C0，-52，所以A，C兩點間的水平距離為1，堅直距離為52.

設點M的坐標為（m，0），將點M按C→A方向平移， 得到點N1m-1，52，將點C按M→A方向平移， 得到點N2-m-1，-52，將點M按A→C方向平移， 得到點N3m+1，-52.

將點N1m-1，52，N2-m-1，-52，N3m+1，-52分別代代入拋物線的解析式y=12x2-2x-52得

①12（m-1）2-2（m-1）-52=52，解得m=3-14或m=14+3，

∴N12+14，52或N12-14，52.

②12（-m-1）2-2（-m-1）-52=-52，解得m=-1或m=-5，

∴N20，-52（與C重合， 舍去）或N24，-52.

③12（m+1）2-2（m+1）-52=-52，解得m=-1或m=3，

∴N30，-52（與C重合， 舍去）或N34，-52.

綜上所述， 符合條件的點N的坐標為4，-52，2+14，52或2-14，52.

對于平行四邊形的存在性問題中已知兩個定點，先虛擬一個動點，圍成一個三角形， 過三角形的每一個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，就可以確定平行四邊形的第四個頂點.按照虛擬的第三個點，第四個頂點存在三種情況.但是第四個點到底有幾個，要具體問題具體分析.

已知兩個定點、兩個動點的情況下，可以選擇定點中的一個為起始點（如A），分別以AX（X為其他三個頂點）為對角線進行討論.若有動點在直線上，則設這個點的坐標，用已知兩個定點和直線上的動點坐標，根據“平行四邊形兩組相對頂點橫坐標之和相等，縱坐標之和也相等” 表示出第四個頂點.把第四個頂點的坐標代入滿足的函數解析式，解方程即可. 如果是三個定點、一個動點的問題，則不需要構造兩個方程來解決，通過平移即可解決.這種方法不需要畫圖，不漏解，最后需檢驗是否滿足題意.

參考文獻：

［1］ 董紅鳳.有效解決函數中動點型綜合題教學探究［J］.數學學習，2016（01）：25-30.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：劉利果（1981.10-），女，河北省邢臺人，本科，中小學高級教師，從事初中數學教學研究.