深度解析以折紙為背景的中考題

摘 要：中考題經常考查以折紙為背景的試題，考查考生的動手能力和直觀想象能力.文章從折疊方法解析和問題解答的角度來深度剖析幾道經典的中考題.

關鍵詞：中考題；折紙；折疊；操作；解析

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0086-03

折紙是我國的傳統文化，也是一門藝術.以折紙為背景的中考題，因其高度抽象而成為難點.筆者以幾道經典的中考題為例，給出折疊方法解析、操作過程分析和試題解答.

例1 已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1， 將紙片折疊， 使頂點A與邊CD上的點E重合.

（1） 如果折痕FG分別與AD、AB交于點F、G，AF=23， 求DE的長；

（2） 如果折痕FG分別與CD、AB交于點F、G，AED的外接圓與直線BC相切， 求折痕FG的長， 如圖1［1］.

折疊方法解析 本題的折紙操作方法可以用以下 4 個步驟描述：

操作1 將AD與BC重合對折， 折痕為MN， 如圖2所示；

操作2 將AD與MN重合對折， 折痕為RS， 如圖3所示；

操作3 過S、M兩點折疊， 折痕為MS， 折疊以后BS與AD的交點為F， 如圖 4所示；

操作4 過點F將點A折到CD上， 折痕為FG， 點A的對應點為E， 如圖5所示.

問題解答

（1）從操作1到操作3，可知點F為AD的三等分點. 因為A關于折痕FG的對應點為E， 所以AF=EF，EF=23，DF=13， 所以DE=33.

（2）折疊的關鍵是要確定點E的位置，我們先假設已經折出來了，如圖6所示，然后再計算CE的長度，從而確定點E的位置.

記AE與FG的交點為P， 過點P作PQ⊥BC于Q， 由于BC與三角形ADE的外接圓相切， 所以PQ=AP=EP， 且∠AQE=90°，CQ=BQ， 因此∠CQE+∠AQB=90°， 有∠CQE=∠QAB， 所以△CEQ∽△ABQ，CECQ=BQAB，由此可解得CE=18. 因為線段的18是容易折疊的， 所以問題 （2） 可以由下列操作來完成折疊過程.

操作5 將長方形ABCD的邊BC與MN重合對折，折痕為M1N1，再將BC與M1N1重合對折，折痕為M2N2，繼續將BC與M2N2重合對折，即可得到CE=18， 如圖7所示.

操作6 ?將A、E兩點重合對折， 折痕為FG， 如圖8所示.

求折痕FG的長度.

在圖8中， 由操作6知GF⊥AE， 所以∠AGP+∠GAP=90°， 而∠GAP+∠DAE=90°， 所以∠AGP=∠DAE.

如圖9所示，過點F折AB的垂線FH，因為∠AGP=∠DAE，則△FHG～△ADE，由HGFH=ADDE， 得HG=AD×FHDE=AD2CD-CE=12-18=815，又由于FH2+HG2=FG2， 所以FG=28915=1715.

例2 ?如圖10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿對角線BD翻折梯形ABCD，若點A恰好落在下底BC的中點E處，則梯形的周長為_______.

折疊方法解析

“沿對角線BD翻折梯形ABCD”，實際上是過B、D兩點折疊；“若點A恰好落在BC的中點E處”這必須是非常特殊的梯形才能辦到.那么這是怎樣的一個梯形呢？

如圖11所示，因為點A關于折痕BD的對應點為E， 所以△ABD△BDE， 即AB=BE，AD=DE，∠ADB=∠EDB.因為AD∥BC，有∠ADB=∠DBE，所以∠DBE=∠EDB，即BE=DE，因此四邊形ABED是菱形.又因為E是BC的中點，而AB=CD，所以△CDE是等邊三角形.

問題解答

由上述討論可知， 梯形ABCD是底角為60°的等腰梯形，周長等于5倍腰的長度，即等于15.

例3 矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2， 將矩形紙片沿EF折疊， 點A與點C重合， 折疊后在其一面著色 （如圖12）， 則著色部分的面積為（? ）［2］.

A.8?? B.112?? ?C.4?? D.52

折疊方法解析

“將矩形紙片沿EF折疊，點A與點C重合”，實際上，將兩點重合對折的折痕是唯一的， 所以先給出折痕，然后再將兩點重合對折這種描述方式不夠嚴謹，本題的操作過程可以描述為：將矩形ABCD的兩頂點A與C重合對折，折痕為EF，點D的對應點為G，如圖13所示.

問題解答

求梯形CEFG的面積.

因為點A關于折痕EF的對稱點為C，點D關于折痕EF的對應點為G，所以四邊形ADFE與四邊形CEFG全等，所以AD=CG，又因為折痕垂直平分兩對應點的連線，即EF垂直平分AC，有CF=CE，所以梯形CEFG的上底FG加下底CE正好等于CD，于是梯形CEFG的面積等于4.

例4 如圖14，矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，如果∠BAF=60°， 那么∠DAE=（? ）［3］.

A.15°? B.30°? C.45°? D.60°

折疊方法解析

可以將“矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處”描述： 過點A將點D折到BC上，折痕為AE，D的對應點為F， 如圖14所示.

問題解答

從條件∠BAF=60°可知， 且∠DAE=∠FAE， 即∠DAE=15°.

縱觀以上的考題，我們發現很多的中考題都是以折紙為背景來考查的，這就要求一線教師在日常教學中要滲透折紙藝術、關注學生的動手操作能力.同時，也在教學中啟示了一線教師：折紙可以進入中小學數學課堂，通過折紙操作活動，引導學生觀察折痕所形成的邊角關系，幫助學生建立折紙操作與數學內容的聯系，培養其動手能力、觀察能力、想象能力和創造性思維能力.還要注意科學性與操作性相結合、趣味性與嚴謹性相結合、啟發性與示范性相結合的原則.

參考文獻：

［1］ 陳厚嵩.中考圖形折疊問題［J］.中學教與學，2007（07）：16-18.

［2］ 黃燕蘋，張輝蓉.中考折紙問題解析［J］.數學教學，2009（11）：42-45.

［3］ 王彥秋.有關折紙的中考題幾例［J］.中學生數學，2011（12）：45-47.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：馮志賢（1981.10-），男，江蘇省常熟人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.