初中數學解題中待定系數法的應用策略

摘 要：解題教學是一個常規教學手段，在理科學科教學中占據著較為重要的地位，不僅可以幫助學生進一步鞏固所學的理論知識，還能夠鍛煉他們的解題技巧，提升應試能力.在初中數學解題中，待定系數法是一種廣泛應用的解題方法，其本質是方程思想，將未知數與已知數等同看待，構建相應的等式，得出相應的方程組，完成題目的解答.基于此，文章主要對初中數學解題中待定系數法的應用做探討，同時結合具體例題分享一些解題策略.

關鍵詞：初中數學解題；待定系數法；應用方法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0053-03

待定系數法作為初中數學中重要的解題方法，是一種“執果索因”的思維方式，是判斷所求結果的結構形式，根據題目條件列出待定系數的等式，得出待定系數的值.待定系數法的應用比較廣泛，在初中數學解題訓練中，教師圍繞待定系數法安排專題訓練，指導學生用于多項式除法、因式分解、解方程以及恒等式的證明等多方面的試題，幫助其學會借助待定系數法有效解答初中數學問題，不斷提高他們的解題能力，為將來的中考做好充足準備［1］.

1 用待定系數法解多項式除法問題在初中數學解題教學中，應用待定系數法能解答多項式除法類試題，包括多項式的余式、求商式和整除等［2］.多項式除法屬于除法的一種，

在運算過程中還要用到減法與乘法，是代數試題中一類比較常用的算法，通常是用一個同次或者低次的多項式去除另一個多項式.教師可指導學生應用待定系數法解答多項式除法問題，讓他們將一個相對復雜的除法問題分解成小問題，順利解題［3］.

例1 求（3x3-2x2+1）÷（3x2-3x+1）的商式和余式.

分析 此題中被除式的最高次項是3x3，除式的最高次項是3x2，所以商式的最高次數是1，且系數是1.因此，可以將商式設為x+a，余式設為px+q，由此能夠得出關于x的恒等式3x3-2x2+1＝（x+a）（3x2-3x+1）+px+q，對于一切實數x均成立，所以，x為0、1、-1依然成立，從而得出關于a、p、q的方程組.

詳解 設所求的商式是x+a，余式是px+q，

由此得到3x3-2x2+1＝（x+a）（3x2-3x+1）+px+q，

令x＝0，則a+q＝1；令x＝1，則（a+1）+p+q＝2；

令x＝-1，則7（a-1）-p+q＝-4；

聯立起來得到方程組a+q=1a+p+q=17a-p+q=3，

解之得a=13p=0q=23，所以所求的商式是x+13，余式是23.

例2 已知x4+4x3+6px2+4qx+r可以被被x3+3x2+9x+3整除，那么p、q、r的值分別是什么？

分析 在解此題時，需要先把商式假設出來，根據x4÷x3＝x可以把商式假設成x+m，故p、q、r、m都是待定系數，結合被除式恒等于商式乘以除式，以及對應系數的對比，能求得這幾個待定系數的值.

詳解 設所得商式是x+m，

所以x4+4x3+6px2+4qx+r

＝（x+m）（x3+3x2+9x+3）＝x4+（3+m）x3+（9+3m）x2+（3+9m）x+3m，

比較對應項系數，得出3+m=49+3m=6p3+9m=4q3m=r，求得m=1p=2q=3r=3，所以p＝2，q＝3，r＝3.

2利用待定系數法解因式分解問題對初中數學解題教學來說，當因式分解中遇到一些較為復雜的二元二次多項式時，應把原多項式中的一部分進行因式分解，且轉變成兩個一次因式相乘的形式，就可以把整個解題過程處理的簡單化.對此，初中數學教師在因式分解類試題教學中，由于二元二次多項式比較復雜，當要求學生進行因式分解時，可借助待定系數法將原多項式的一部分進行因式分解，由兩個一次因式乘積代替，使其在分解中確定因式，將解題過程變得更加簡捷.

例3 已知2x2+xy-y2-kx+8y-15可以分解為兩個一次因式的乘積，那么這個有理多項式是什么？

分析 ?在解題時，可以將前三項進行分解，通過兩個一次因式相乘的方式來表示，再對原式進行變形，就能夠采取對應項系數比較的方式求得結果.

詳解 根據十字相乘法可以得到2x2+xy-y2＝（2x-y）（x+y），設2x2+xy-y2-kx+8y-15＝（2x-y+m）（x+y+n）＝2x2+xy-y2+（2n+m）x+（m-n）y+mn.

比較對應項系數能夠得到2n+m=-km-n=8mn=-15，

解得m=3n=-5k=7，或者m=5n=-3k=1，

所以這個有理多項式是2x2+xy-y2-7x+8y-15或者2x2+xy-y2-x+8y-15.

例4 已知等式p2+q2＝7pq，且滿足該等式的正實數p、q，能夠讓有關x、y的多項式xy+px+qy+1分解為兩個一次因式之積，請問p、q的值分別是什么？

分析 根據條件p2+q2＝7pq，且p、q是正實數，利用配方法分析p+q和pq的關系，因多項式xy+px+qy+1可以分解成兩個一次因式之積，便可借助待定系數法把pq的值給求出來，并得到p+q的值，順利確定p、q的值.

詳解 因為p2+q2＝7pq，且p、q是正實數，所以p+q＝3pq，又因為多項式xy+px+qy+1可以分解為兩個一次因式的積，所以xy+px+qy+1＝（ax+b）（cy+d）＝acxy+adx+bcy+bd，通過對應項系數對比，

可以得到ac＝1，bd＝1，ad＝p，bc＝q，

所以pq＝abcd＝1，

所以說p＝32+52，q＝32-52，或者p＝32-52，q＝32+52.

3 利用待定系數法解高次方程問題

方程，作為學生從小學時期就接觸和學習的一類知識，在整個數學課程體系中占據著極為關鍵的地位，既是一類特殊的理論知識，

也是學生進行解題的一種常用工具，重要性不言而喻.不過對于初中學生而言，還沒有學習到有關高次方程的解題方法，當遇到此類特殊的方程類試題時，教師可以指引他們采用待定系數法，找到這些一元高次方程中根存在的某種關系，從而將高次方程轉變為低次方程，使其能夠借助待定系數法的優勢順暢解這類方程.

例5 已知方程2x4-5x3-24x2+53x-20＝0的兩個根之積為2，那么該方程的解是什么？

分析 通過分析方程根和系數之間的關系，發現兩根之積是2的一元二次方程，假如二次項系數是1，則常數項為2，故應用待定系數法時能夠搭配假設法完成求解.

詳解 設2x4-5x3-24x2+53x-20＝（x2+ax+2）（2x2+bx-10）＝2x4+（2a+b）x3+（ab-6）x2+（-10a+2b）x-20，

對應項系數比較，得到2a+b=-5ab-6=-24-10a+2b=53，解之得a=-92b=4，所以原方程可以轉化為（x2-92x+2）（2x2+4x-10）＝0，

求得x1＝12，x2＝4，x3＝-1+6，x4＝-1-6.

例6 已知方程x4+（x-4）4＝626，求該方程的實數解.

分析 解答本道題目時，可以利用待定系數法，推導出方程的兩個實數根，然后繼續利用待定系數法進行因式分解，最終完成解題.

詳解 因為626＝54+14，

能夠看出5和-1是該方程的兩個根，

令x4+（x-4）4-626＝2（x+1）（x-5）（x2+px+q），

當x＝0時，q＝37，

當x＝4時，p＝-4，

所以原方程可以變為2（x+1）（x-5）（x2-4x+37）＝0，

又因為（x2-4x+37）＝0沒有實數根，

所以原方程的解是x1＝-1，x2＝5.

4 應用待定系數法解代數式恒等變形問題

代數式恒等變形屬于解析式變換的一種，就是將一個代數式轉變成另外一個同它恒等的代數式.在初中數學解題訓練中，會經常安排幾道有關代數式恒等變形類的試題，教師可提示學生應用待定系數法，按照實際要求對題目中的代數式進行恒等變形處理，讓他們先把一個符合條件且含有待定系數的恒等式給假設出來，再借助恒等式的性質求出各個待定系數的具體值，也可以將待定系數消除掉，由此完成解題，這樣解題過程顯得十分清楚和簡潔.

例7 已知有一個多項式xy（3x+2）（5y+2），請證明這個多項式是含有整數系數的兩個多項式的平方差.

分析 從本質看，本題需要把題設中的多項式通過兩個整式的平方差形式表示出來，但是這兩個整式屬于未知條件，所以可設為A和B，隨后借助待定系數法進行證明.

詳解 設xy（3x+2）（5y+2）＝A2-B2，A、B均代表整式，則（3xy+2y）（5xy+2x）＝（A+B）（A-B），

令A+B＝3xy+2y，A-B＝5xy+2x，

解之得A＝4xy+x+y，B＝-xy-x+y，

所以說xy（3x+2）（5y+2）＝（4xy+x+y）2-（-xy-x+y）2.

例8 已知多項式x4-6x3+13x2-12x+4，請證明該多項式能夠通過完全平方式來表示.

分析 這道題目中出現的是四次多項式，其應該是二次三項式的平方，所以可以假設原代數式恒等于（x2+px+q）2，該式子中的p與q便是待定系數.

詳解 設多項式x4-6x3+13x2-12x+4＝（x2+px+q）2，

化簡變形后為x4+2px3+（p2+2q）x2+2pqx+q2，

通過對應項系數的比較可以得到2p＝-6，p2+2q＝13，2pq＝-12，q2＝4，

解之得p＝-3，q＝2，

所以多項式x4-6x3+13x2-12x+4可以轉變為（x2-3x+2）2.

參考文獻：

［1］ 黃華志.待定系數法在初中數學解題中的思路與方法［J］.中學數學，2023（10）：79-81.

［2］ 姜成勝.初中數學教學中提升學生解題能力的策略［J］.理科愛好者，2023（04）：77-79.

［3］ 林潔華，梁建新.淺析提高初中學生數學解題能力的有效途徑［J］.考試周刊，2023（30）：82-85.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：沈超雄（1982.7-），男，福建省莆田人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.