欠驅(qū)動兩自由度機械臂LQG/LTR控制

徐玉龍, 王學林, 張磊, 王鵬

(齊魯工業(yè)大學(山東省科學院)自動化研究所/山東省機器人與制造自動化技術重點實驗室, 濟南 250014)

欠驅(qū)動系統(tǒng)是控制輸入維數(shù)小于自由度維數(shù)的一類系統(tǒng)[1],其節(jié)約能量、降低造價、減輕重量、收縮體積、增強系統(tǒng)靈活性等特點,使其在無人機、機器人等諸多重要領域有著廣泛的應用[2-3]。欠驅(qū)動機械臂是一種典型的垂直欠驅(qū)動機械系統(tǒng)[4],由兩個機械臂組成,第一個機械臂(肩關節(jié))有驅(qū)動單元,為主動臂;第二個機械臂(肘關節(jié))無驅(qū)動單元,為欠驅(qū)動臂;在運動范圍內(nèi),僅有有限個平衡點。在欠驅(qū)動機械臂平衡點控制方面,中外許多學者已經(jīng)開展了多方面的研究,采用的主要控制方法有混合控制[5]、比例積分微分(proportional integral derivative, PID)控制[6]、無源控制(passivity-based control, PBC)[7]、線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator, LQR)控制[8-10]和滑模變結(jié)構(gòu)控制(sliding mode variable structure control,SMC)[11-13]等。PID控制器具有使用簡單、調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點,但是其控制精度相對較低,對不穩(wěn)定平衡點的控制不夠精準。張亞軍等[6]提出了未建模動態(tài)及其未知增量補償驅(qū)動的非線性PID控制方法,應用于欠驅(qū)動機械臂平衡控制系統(tǒng),消除了系統(tǒng)非線性特性的影響,但該方法采用自適應神經(jīng)網(wǎng)絡的模糊推理系統(tǒng)對未建模動態(tài)增量進行估計,需要進行大量充分的網(wǎng)絡訓練,實時性會隨著控制器復雜度的增加越變越差。Wu等[7]提出了一種傅里葉變換與智能控制算法相結(jié)合的欠驅(qū)動機械臂控制策略,定義一個與控制扭矩相同的周期函數(shù),通過求解該函數(shù)的傅里葉級數(shù)得出控制器,根據(jù)角動量定理和粒子群優(yōu)化算法來求解常數(shù)項和諧波項,來實現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制,但該扭矩周期函數(shù)難以定義,且需要進行復雜的調(diào)試。LQR[8-9]作為一種穩(wěn)定控制方法,其設計便利,適用于多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)線性系統(tǒng),最早由Block應用于欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)。Huynh等[10]建立五連桿欠驅(qū)動機械臂數(shù)學模型并線性化,將LQR控制方法成功應用于欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng),但當LQR應用于復雜的非線性或強耦合系統(tǒng)時,其抑制噪聲干擾性能較差。滑模變結(jié)構(gòu)控制[11-13]方法是一種非線性控制方法,適用于欠驅(qū)動等耦合性較強的一類系統(tǒng)。Huynh等[11]將分層滑模應用于欠驅(qū)動機械臂,利用李雅普諾夫不等式尋找控制參數(shù)之間的關系,通過遺傳算法求解滿足條件的滑模面參數(shù),成功使系統(tǒng)穩(wěn)定在期望位置。史玲玲等[12]提出了基于可變增益的滑?？刂破?通過引入可變增益,該增益可根據(jù)系統(tǒng)的不確定性和運動狀態(tài)進行調(diào)整,使得該控制器具有較強的魯棒性,克服了傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘牡途葐栴},提高了機器人位置控制精度。郭文東等[13]提出了一種基于反演法的新型軌跡跟蹤控制策略,采用分流技術設計運動學控制器,干擾觀測器和自適應滑模相結(jié)合設計動力學控制器,克服了速度跳變與精度問題,但滑?？刂品椒ǖ竭_穩(wěn)定的時間較長。另外滑模變結(jié)構(gòu)控制方法運用時需要設計滑模面和趨近律,其設計需要一定控制經(jīng)驗,切換滑模面時常存在高頻抖震現(xiàn)象,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。上述控制方法主要側(cè)重于平衡點控制算法的研究,未考慮隨機噪聲對平衡點控制的影響。

線性二次型高斯控制[14](linear quadratic Gaussian control, LQG)方法是一種基于狀態(tài)觀測器的線性最優(yōu)控制方法,能有效處理系統(tǒng)建模不確定和狀態(tài)變量不能全部直接觀測且觀測數(shù)據(jù)有附加噪聲干擾的線性系統(tǒng)控制問題,其以良好的魯棒性和解耦特性,使得該控制方法在多變量控制系統(tǒng)設計中得到廣泛應用,具有很高的工程應用前景,但狀態(tài)觀測器的引入將使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減小。為此采用回路傳輸恢復[15](loop transfer recovery, LTR)技術,恢復后的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度可以逼近LQR控制。本文研究采用具有回路傳輸恢復的線性二次高斯(the linear quadratic gaussian control with loop transfer recovery, LQG/LTR)控制方法,設計欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)平衡控制器,抑制復雜環(huán)境下不明噪聲干擾,實現(xiàn)欠驅(qū)動機械臂不穩(wěn)定平衡點的鎮(zhèn)定控制。

1 欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1 動力學模型

系統(tǒng)模型如圖1所示。

m1、m2為連桿質(zhì)量;θ1、θ2分別為連桿1與水平線之間的夾角和連桿2與連桿1之間的夾角;l1、l2為連桿長度;c1、c2為連桿的質(zhì)心距;τ1為作用在連桿1上的控制力矩圖1 欠驅(qū)動機械臂模型Fig.1 Model of underactuated manipulator

利用Newton-Euler方程可得到系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

G(Θ)]

(7)

當欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)處于平衡位置時,主動臂與欠驅(qū)動臂的角速度和角加速度均為0,式(7)變?yōu)?/p>

(8)

式(8)中:g為重力加速度。

(9)

1.2 欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)線性化

(10)

式(10)中:

(11)

(12)

(13)

(14)

1.3 欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2 LQG/LTR方法的控制原理

2.1 LQG最優(yōu)控制器設計

假設被控對象的數(shù)學模型為

(15)

式(15)中:Γ為常系數(shù)矩陣;ω(t)和ν(t)為互不相關的白噪聲信號,分別表示模型的不確定性和輸出端的觀測噪聲,假設這些信號是均值為零的Gaussian,具有W=E[ω(t)ωT(t)]≥0,V=E[ν(st)νT(t)]≥0,E[ω(t)νT(t)]=0統(tǒng)計特性,其中W為ω(t)的協(xié)方差矩陣,V為ν(t)的協(xié)方差矩陣。

LQG控制就是尋找最優(yōu)反饋控制規(guī)律,使得

(16)

為積分環(huán)節(jié);Σ為求和環(huán)節(jié);γ(t)為系統(tǒng)參考輸入;G(s)為被控對象;和y(t)分別為系統(tǒng)估計輸出和系統(tǒng)觀測輸出圖2 LQG控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure block of LQG control system

被控對象傳遞函數(shù)G(s)與控制器傳遞函數(shù)矩陣K(s)分別為

G(s)=C(sI-A)-1B

(17)

K(s)=Kr(sI-S+BKr+KfC)-1Kf

(18)

最優(yōu)控制輸入矩陣Kr和KF增益矩陣Kf分別表示為

(19)

ATPr+PrA-PrBR-1BTPr+Q=0

(20)

PfAT+APf-PfCTV-1CPf+ΓWΓ-1=0

(21)

式(21)中:Γ為可調(diào)參量矩陣。

2.2 回路傳輸恢復(LTR)方法

回路傳輸恢復方法(LTR)是一種用于解決部分狀態(tài)可觀測系統(tǒng)控制問題的控制技術,其基本的設計思路是設計KF估計器并選取適當?shù)腒F增益Kf,使線性二次型高斯(LQG)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以盡量去趨近相對應系統(tǒng)的LQR閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),恢復后的系統(tǒng)有著接近LQR控制方法的優(yōu)越性能,且具有良好的噪聲干擾抑制能力。LQG/LTR方法可以有兩種方法去實現(xiàn),一種是采用輸出端恢復,另一種是采用輸入端恢復[14-15],本文研究中采用前者,具體步驟如下。

(1)根據(jù)給定的狀態(tài)方程設計KF估計器。選擇合適的傳感器噪聲協(xié)方差矩陣參數(shù)和系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差矩陣參數(shù)W和V,使得KF回比函數(shù)GKF=C(sI-A)-1Kf的奇異值曲線滿足要求。

(2)設計LQR控制器。經(jīng)過不斷地調(diào)節(jié)q的取值,讓輸出端的回比函數(shù)G(s)K(s)奇異值曲線逼近KF回比函數(shù)GKF=C(sI-A)-1Kf。G(s)K(s)=Kr(sI-A+BKr+KfC)-1KfC(sI-A)-1B?；謴秃蟮南到y(tǒng),有更好的魯棒性,其增益裕度大,具有不少于60°相對裕度。

3 LQG/LTR控制器設計及仿真分析

3.1 LQG/LTR控制器設計

選取控制對象為欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng),設計LQG/LTR控制器,欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)模型參數(shù)為:p1=0.030 8 kg·m2,p2=0.010 6 kg·m2,p3=0.009 5 kg·m2,p4=0.208 6 kg·m2,p5=0.063 0 kg·m2。

由上述參數(shù)可以計算出系統(tǒng)系數(shù)矩陣為

(22)

(23)

圖3 開環(huán)系統(tǒng)伯德圖Fig.3 Open-loop-system bode diagram

圖4 恢復曲線圖Fig.4 Recovery curves chart

3.2 仿真分析

驗證LQG/LTR不穩(wěn)定平衡點控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定能力,使用MATLAB/Simulink進行仿真,設置仿真時間為3 s,系統(tǒng)的采樣周期設置為0.001 s,重力加速度取g=9.81,輸入為γ(t)=0。仿真結(jié)果如圖5～圖9所示。

圖5 LQG/LTR的兩種初始偏離角度仿真圖Fig.5 Simulations of two initial deviation angles for LQG/LTR

圖6 LQG/LTR和LQR在噪聲(ω=0.05)下的仿真圖Fig.6 Simulations of LQG/LTR and LQR under noise (ω=0.05)

圖7 LQG/LTR和LQR在噪聲(ω=0.1)下的仿真圖Fig.7 Simulations of LQG/LTR and LQR under noise (ω=0.1)

圖8 LQG/LTR和LQR角速度仿真圖Fig.8 LQG/LTR and LQR angular velocity simulations

圖9 LQG/LTR和LQR力矩仿真圖Fig.9 LQG/LTR and LQR torque simulations

4 結(jié)論

針對復雜環(huán)境下,欠驅(qū)動機械臂不穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定控制中存在的系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲干擾問題,采用LQG/LTR控制方法設計了平衡點鎮(zhèn)定控制器,并在不同的初始條件和噪聲干擾下進行了仿真試驗,使該欠驅(qū)動系統(tǒng)快速穩(wěn)定地鎮(zhèn)定在不穩(wěn)定平衡點。得出如下結(jié)論。

(1)在面對復雜環(huán)境下存在的不明干擾時,LQG/LTR控制相較于LQR控制魯棒性更強,且有出色的抑制噪聲干擾性能,能夠顯著減少系統(tǒng)過程噪聲干擾和傳感器觀測噪聲對控制系統(tǒng)的影響。

(2) LQG/LTR控制對欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)的平衡調(diào)節(jié)、暫態(tài)穩(wěn)定和干擾抑制等方面均有良好的控制效果,控制性能優(yōu)于LQR,對于較大的噪聲干擾也有著出色的抑制能力,具有較好的魯棒性和穩(wěn)定性。

(3)LQG/LTR方法可以解決復雜環(huán)境下系統(tǒng)過程噪聲和傳感器觀測噪聲等干擾所帶來的系統(tǒng)失穩(wěn)問題,為欠驅(qū)動機械臂在復雜環(huán)境下的控制設計提供了一種新的控制方法,具有一定的工程應用前景。