與三角形角平分線的美麗邂逅

吳巖

最近，我遇到了一個難題。

如圖1，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動，不與點O重合，BC是∠ABN的角平分線，BC的反向延長線交∠OAB的角平分線于點D，AD交BO于點E。隨著點A、B的運動，∠D的大小會變嗎？如果不會，請求出∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由。

讀完題目，我有些不知所措。題目中只給出∠O的度數(shù)，但是∠D和∠O看起來好像沒什么關(guān)系啊。

我又讀了一遍題目，發(fā)現(xiàn)∠NBA是△ABO的外角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可以得到∠NBA=∠O+∠BAO，又因為∠O=90°，所以∠NBA=90°+∠BAO。

還有兩個角的角平分線沒有用到，角平分線有什么作用呢？哦對了，它能表達三個角之間的數(shù)量關(guān)系。由AD是∠BAO的角平分線，可知∠BAD=[1/2]∠BAO。因為BC是∠NBA的角平分線，所以∠CBA=[1/2]∠NBA=45°+[1/2]∠BAO=45°+∠BAD。同時，∠CBA也是△ABD的外角，可得∠CBA=∠D+∠BAD，則45°+∠BAD=∠D+∠BAD，從而得到∠D=45°。

我整理了一下思路，寫出解答過程：

解：∵∠NBA是△ABO的外角，∠O=90°，

∴∠NBA=∠O+∠BAO=90°+∠BAO。

∵BC是∠NBA的角平分線，

∴∠CBA=[1/2]∠NBA=45°+[1/2]∠BAO。

∵AD是∠BAO的角平分線，

∴∠BAD=[1/2]∠BAO。

∴∠CBA=45°+∠BAD。

∵∠CBA是△ABD的外角，

∴∠CBA=∠D+∠BAD。

∴45°+∠BAD=∠D+∠BAD。

∴∠D=45°。

我的心得：下次我們再遇到類似的題目，首先要明白每個角的身份，即它在三角形中的名稱是什么。比如∠D，把它看作△ABD的內(nèi)角，就可以用三角形內(nèi)角和找到與∠D關(guān)聯(lián)的角，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。當(dāng)然，同一個角的身份也可以不同。這時候，我們就可以用不同的方法解決問題了。

比如，BO與AD相交的點為E，那么，∠D也是△BDE的內(nèi)角，△BDE與△AOE構(gòu)成對頂三角形，我們可以運用兩個對頂三角形的性質(zhì)來解決。

∠DBO+∠D=∠O+∠OAD，而[1/2]∠NBA=∠NBC=∠DBO，[1/2]∠BAO=∠OAD，∠NBA=∠O+∠BAO……感興趣的小伙伴可以用這種方法試一試哦。

本題中，點A、B在運動，△AOB的兩個銳角在不斷改變，三角形的大小也跟著變化，看似無從下手，但變化中含有不變的元素，抓住這個不變量，問題便能得到解決。我想這里也體現(xiàn)了老師常說的幾何“變中不變”的魅力吧！