從“平行線”走向“多邊形”

許斌

在“平面圖形的認(rèn)識（一）”中，我們認(rèn)識了線段、角，知道了平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行這兩種，還學(xué)習(xí)了相交情況下的特殊位置關(guān)系——垂直。通過“平面圖形的認(rèn)識（二）”，我們將接觸平行線的判定及性質(zhì)；認(rèn)識平移，探索平移的性質(zhì)；了解三角形的相關(guān)概念，探索三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和及多邊形的內(nèi)角和、外角和等。下面讓我們一起走進(jìn)本章的內(nèi)容吧！

一、平行線的判定、性質(zhì)及應(yīng)用

上學(xué)期，我們通過兩直線相交形成夾角的特殊化，認(rèn)識了垂直，知道了垂直的定義、判定及性質(zhì)等。如何判定兩直線平行呢？從定義的角度判定不現(xiàn)實。那么，能否類比垂直的研究，從相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系來認(rèn)識呢？我們知道，兩條直線平行就意味著兩條直線的方向一致，而直線的方向可以通過夾角來刻畫。那么，角在哪兒呢？聰明的你一定想到了，畫一條直線分別與兩直線相交，此時會出現(xiàn)8個角，我們簡稱這樣的圖形為“三線八角”，如圖1所示。

像∠1與∠5這樣的一對角，稱為同位角；∠3與∠5稱為內(nèi)錯角；∠4與∠5稱為同旁內(nèi)角。當(dāng)∠1=∠5或∠3=∠5或∠4+∠5=180°時，我們就可以判斷a∥b；反之，當(dāng)兩直線平行時，我們也添上一條截線，此時同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，這就是平行線的性質(zhì)。從平行線的判定和性質(zhì)我們可以看出：幾何圖形中，數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系，位置關(guān)系也決定了數(shù)量關(guān)系。

生活中廣泛存在“平移”的現(xiàn)象。在圖形平移的過程中，蘊含大量的平行線。通過觀察、實驗，我們可以發(fā)現(xiàn)，平移前后對應(yīng)點連線、對應(yīng)線段平行且相等。利用平移的性質(zhì)，我們可以解決一些實際問題。在此過程中，我們不僅能體會平移的應(yīng)用價值，還將提高分析問題、解決問題的能力。

二、三角形與多邊形

三角形是最簡單、最基礎(chǔ)的多邊形，生活中隨處可見。探索和掌握三角形的性質(zhì)可以幫助我們更好地認(rèn)識現(xiàn)實世界，發(fā)展空間觀念。通過用小棒搭三角形的數(shù)學(xué)實驗，我們可以得到三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。在小學(xué)我們就知道，三角形的三個內(nèi)角之和為180°，可如何確定這個事實呢？

對數(shù)學(xué)的研究，我們不能停留在觀察的層面，還需要進(jìn)行說理。解決這個問題，我們需要思考下面兩個問題：（1）180°會讓我們想到哪些學(xué)過的知識？（2）如何將三角形的三個內(nèi)角聚集？你有轉(zhuǎn)移等角的經(jīng)驗嗎？對，通過添加平行線可以實現(xiàn)將三角形的三個內(nèi)角聚集到一起，從而將其轉(zhuǎn)化為一個平角或平行線下的同旁內(nèi)角的圖形結(jié)構(gòu)。這樣，我們就可以說明任意一個三角形的三個內(nèi)角和為180°。怎么樣？有沒有感受到數(shù)學(xué)說理的強大力量？不論三角形的大小、形狀、位置如何，三個內(nèi)角和總是180°，這是一個不變的值。數(shù)學(xué)就是這樣好玩、奇妙！

在認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步推廣研究任意多邊形的內(nèi)角和問題。其實只要想辦法將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形就可以了，數(shù)學(xué)就是這樣一步一步向上生長的，這樣我們就得到了n（n≥3）邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）·180°。根據(jù)多邊形的一個外角與其相鄰內(nèi)角的互補關(guān)系，我們又可以推出多邊形外角和的性質(zhì)：任意多邊形的外角和為360°。這也是一個非常美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論，體現(xiàn)了幾何問題中“變中不變”的魅力。

三、圖形學(xué)習(xí)的展望

斜拉式大橋為什么采用三角形結(jié)構(gòu)？畫一個三角形的角平分線、中線、高時，我們發(fā)現(xiàn)，三角形的三條角平分線所在的直線相交于一點，中線和高所在直線也有同樣的結(jié)論。如何用說理的方式說明其一定正確？特殊的三角形——等腰三角形和直角三角形又會有哪些特殊的性質(zhì)？兩個能完全重合的三角形稱為全等三角形，對于這個新的數(shù)學(xué)概念，我們又將從哪些方面研究？四邊形的學(xué)習(xí)我們又該如何展開？一個個問號縈繞在我們的腦海，一個個問題等待我們一起探究、發(fā)現(xiàn)！