構建問題情境 探索概念應用
——以一節“函數的概念和表示方法”習題課為例

上海大學附屬嘉定高級中學 顧成龍

高中數學知識豐富而抽象，其中，對數學概念的理解與實際應用是比較難啃的骨頭，尤其是概念新授課后的習題課。有的教師為了“省時減力”，試圖通過“題海戰術”，達到“熟能生巧”的效果，卻事倍功半。實際上，這嚴重忽視了學生對數學概念本質的把握，導致對數學概念理解的偏差，影響解決問題能力的發展，無法形成良好的數學學科核心素養。數學習題課是指以習題為中心，教師根據學情特點，基于教學目標，圍繞知識點的鞏固與練習題的講解而展開的一種教學活動。作為數學課最重要的組成部分之一，習題課教學可激發學生學習數學的興趣，鞏固所學的知識，提高解決問題的能力。

自2020年9月上海市高中數學施行“雙新”教育以來，筆者一直進行數學概念新授課與習題課的課堂教學研究，試圖提升學生對數學本質概念的理解與應用。筆者以一節“函數的概念和表示方法”習題課為例，打破以教師進行知識點復習再到學生練習為主的習題課傳統教學模式，通過問題情境教學方式，把概念的知識點復習融入問題中，來探索數學概念鞏固與應用。

一、結合數學概念，設計典型例題，環環相扣

在進行習題課的設計時，教師要結合數學概念進行適當選題，設計具有針對性的典型例題，形成問題鏈，環環相扣，引導學生通過問題探究數學概念本質，在深度與廣度上有效激發學生的思維品質。

“函數”是高中數學中最核心的概念之一，理解函數概念對高中學生數學學習至關重要。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》認為：函數是描述客觀世界中變量關系和規律的最為重要的數學模式，是研究其它數學領域的基本工具，有廣泛的實際應用。函數及應用是貫穿高中數學課程的主線。

函數概念的理解與應用涉及函數的三種表示方式（解析法、列表法、圖象法），以及定義域與值域的求解。在這節“函數的概念和表示方法”的習題課上，例題1考查學生通過辨析問題中變量間的關系，回顧函數的定義，掌握解析法。例題2通過高鐵車次相關信息，在實際生活中抽象出函數，讓學生感受到數學來源于生活，通過研究數學問題，進而解決生活中一些實際問題，掌握列表法。例題3通過圖象驗證函數相等，通過“形”判斷兩個函數是否相等，進一步考查定義：根據定義判斷，通過圖象和列表驗證判斷。例題4通過列不等式組求解，考查函數三要素中的定義域。例題5考查函數三要素中的值域，要求畫出一個分段函數圖象，并分析圖象的特點，得出圖象法可以直觀地理解函數的性質。

例題1：下列能體現變量y是關于變量x的函數的是___。

【設計意圖】通過問題中變量間關系的辨析，引導同學們回顧函數的定義。“問題（2）（4）表示函數的方法為解析法，還有其他的表示方法嗎？”由此引出例題2。

例題2：判斷下列兩個函數是否為同一個函數：y=x( x∈{0 ，1})；y=x2( x∈{0 ，1})，并說明理由。

變式：若y=x( x∈［0，1］)；y=x2( x∈［0，1］)，則兩函數相同嗎？并說明理由。

【設計意圖】通過函數定義，對兩個相同函數進行辨析，讓同學們意識到變量與變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，表達式不同，配對的法則不一定不同。如果表達式可以化簡或者等價同一種形式，那么對應法則是一樣的，這與代數中的式（也叫表達式）不一樣，式強調的是形，而函數注重對應關系的本質。確定兩個函數是相同函數之后，再從圖象法、列表法的角度進行驗證，熟悉了函數的三種表示方法。通過變式訓練，進一步深化同學們對“對應關系”的理解。

例題3：求下列函數的定義域：

【設計意圖】通過冪、指數、對數的形式構造兩個具體的函數，考查函數的定義域；對（1）做了一個變式，讓同學們注意零次冪的底數不能取0。任何函數的研究第一步都需要確定函數的定義域，只有在定義域內研究函數的性質才有意義。如將參數問題進行分類討論，借助數形結合，提升學生直觀想象核心素養。

二、創設問題情境，引導概念探究應用，層層推進

蘇洪雨、章建躍、郭慧清指出“通過創設有利于學生數學學科核心素養發展的教學情境，引導學生理解與把握函數的本質，啟發學生思考，再現函數概念的創造過程，促進學生數學學科核心素養的達成。”由此，教師在習題課的課堂教學中，應當結合典型例題，創設恰當問題情境，引導學生在發現問題、分析問題與解決問題的過程中，層層推進，鞏固其對函數概念的正確理解與應用。

在本節習題課中，問題情境由3個典型例題組成的問題鏈架構，其中例題1～2探索函數的概念與表示方法，例題3探究函數的概念應用。在處理每一個例題時，筆者步步設問，啟發并引導學生對問題進行思考辨析，層層深入，直至把問題解決，在分析與處理問題過程中，鞏固函數概念的理解與應用。如在例題3中，問題呈現后，筆者啟發學生通過函數定義，對兩個相同函數進行辨析，進一步探究變量與變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對的法則不一定不同。隨后，在確定兩個函數是相同函數之后，進一步通過問題的形式，引領學生再從圖象法、列表法的角度進行驗證，熟悉函數的三種表示方法。通過變式訓練，進一步深化同學們對“對應關系”的理解。筆者將教學片段呈現如下：

例題2：判斷下列兩個函數是否為同一個函數：f( x)=x( x∈{0 ，1})，g( x)=x2( x∈{0 ，1})，并說明理由。

變式：若f( x)=x( x∈［0，1］)，g( x)=x2（x∈［0，1］），則兩函數相同嗎？并說明理由。

教師：兩個函數相同嗎？

學生1：不相同，因為y=f（x）是一次函數，y=g（x）是二次函數。

學生2：和同學1的觀點相同。

教師：請大家再回顧一下函數的定義，結合定義對比分析y=f（x）、y=g（x），再次判斷是否相同？

學生3：當x=0時，對應的函數值都是0；當x=1時，對應的函數值都是1；所以它們是相同的函數。

教師：非常棒！請同學們再畫出y=f（x）、y=g（x）的圖象，或者用列表形式表示，進行觀察，來判斷是否是相同函數。

學生（全體）：他們的圖象是相同的兩個點，列表也是相同的。

教師：這驗證了同學3的觀點是正確的。

教師：如果改變定義域，請看變式，這兩個函數還相同嗎？

三、結語

高中數學的課堂教學要從片面講授提升為全面發展學生理解數學概念并應用不是一件“輕而易舉”的事。本文以一節“函數的概念和表示方法”習題課為例，跳出傳統教學套路，設計典型例題，創設問題情境，引導學生通過問題辨析，不斷深入與探究，鞏固對函數概念的理解，提升運用函數知識解決問題的能力，最終發展數學抽象與直觀想象的核心素養。在這節課反饋環節，當聽到學生說“顧老師把函數的概念講得深入淺出，妙趣橫生，我真正理解了函數”時，筆者倍感欣慰。

總的來說，在數學課堂教學中，教師任重道遠，要敢于嘗試通過創設各種情境，引導學生多觀察，多思考，多探究，在辨析與解決問題中，把握數學概念的本質，進而提升學生數學核心素養。