構(gòu)建問題情境 探索概念應(yīng)用
——以一節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”習(xí)題課為例

上海大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué) 顧成龍

高中數(shù)學(xué)知識豐富而抽象，其中，對數(shù)學(xué)概念的理解與實際應(yīng)用是比較難啃的骨頭，尤其是概念新授課后的習(xí)題課。有的教師為了“省時減力”，試圖通過“題海戰(zhàn)術(shù)”，達(dá)到“熟能生巧”的效果，卻事倍功半。實際上，這嚴(yán)重忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)概念理解的偏差，影響解決問題能力的發(fā)展，無法形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)習(xí)題課是指以習(xí)題為中心，教師根據(jù)學(xué)情特點，基于教學(xué)目標(biāo)，圍繞知識點的鞏固與練習(xí)題的講解而展開的一種教學(xué)活動。作為數(shù)學(xué)課最重要的組成部分之一，習(xí)題課教學(xué)可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鞏固所學(xué)的知識，提高解決問題的能力。

自2020年9月上海市高中數(shù)學(xué)施行“雙新”教育以來，筆者一直進(jìn)行數(shù)學(xué)概念新授課與習(xí)題課的課堂教學(xué)研究，試圖提升學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)概念的理解與應(yīng)用。筆者以一節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”習(xí)題課為例，打破以教師進(jìn)行知識點復(fù)習(xí)再到學(xué)生練習(xí)為主的習(xí)題課傳統(tǒng)教學(xué)模式，通過問題情境教學(xué)方式，把概念的知識點復(fù)習(xí)融入問題中，來探索數(shù)學(xué)概念鞏固與應(yīng)用。

一、結(jié)合數(shù)學(xué)概念，設(shè)計典型例題，環(huán)環(huán)相扣

在進(jìn)行習(xí)題課的設(shè)計時，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)概念進(jìn)行適當(dāng)選題，設(shè)計具有針對性的典型例題，形成問題鏈，環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)學(xué)生通過問題探究數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，在深度與廣度上有效激發(fā)學(xué)生的思維品質(zhì)。

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中最核心的概念之一，理解函數(shù)概念對高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》認(rèn)為：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為重要的數(shù)學(xué)模式，是研究其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本工具，有廣泛的實際應(yīng)用。函數(shù)及應(yīng)用是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。

函數(shù)概念的理解與應(yīng)用涉及函數(shù)的三種表示方式（解析法、列表法、圖象法），以及定義域與值域的求解。在這節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”的習(xí)題課上，例題1考查學(xué)生通過辨析問題中變量間的關(guān)系，回顧函數(shù)的定義，掌握解析法。例題2通過高鐵車次相關(guān)信息，在實際生活中抽象出函數(shù)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，通過研究數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決生活中一些實際問題，掌握列表法。例題3通過圖象驗證函數(shù)相等，通過“形”判斷兩個函數(shù)是否相等，進(jìn)一步考查定義：根據(jù)定義判斷，通過圖象和列表驗證判斷。例題4通過列不等式組求解，考查函數(shù)三要素中的定義域。例題5考查函數(shù)三要素中的值域，要求畫出一個分段函數(shù)圖象，并分析圖象的特點，得出圖象法可以直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)。

例題1：下列能體現(xiàn)變量y是關(guān)于變量x的函數(shù)的是___。

【設(shè)計意圖】通過問題中變量間關(guān)系的辨析，引導(dǎo)同學(xué)們回顧函數(shù)的定義。“問題（2）（4）表示函數(shù)的方法為解析法，還有其他的表示方法嗎？”由此引出例題2。

例題2：判斷下列兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)：y=x( x∈{0 ，1})；y=x2( x∈{0 ，1})，并說明理由。

變式：若y=x( x∈［0，1］)；y=x2( x∈［0，1］)，則兩函數(shù)相同嗎？并說明理由。

【設(shè)計意圖】通過函數(shù)定義，對兩個相同函數(shù)進(jìn)行辨析，讓同學(xué)們意識到變量與變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，表達(dá)式不同，配對的法則不一定不同。如果表達(dá)式可以化簡或者等價同一種形式，那么對應(yīng)法則是一樣的，這與代數(shù)中的式（也叫表達(dá)式）不一樣，式強(qiáng)調(diào)的是形，而函數(shù)注重對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)。確定兩個函數(shù)是相同函數(shù)之后，再從圖象法、列表法的角度進(jìn)行驗證，熟悉了函數(shù)的三種表示方法。通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步深化同學(xué)們對“對應(yīng)關(guān)系”的理解。

例題3：求下列函數(shù)的定義域：

【設(shè)計意圖】通過冪、指數(shù)、對數(shù)的形式構(gòu)造兩個具體的函數(shù)，考查函數(shù)的定義域；對（1）做了一個變式，讓同學(xué)們注意零次冪的底數(shù)不能取0。任何函數(shù)的研究第一步都需要確定函數(shù)的定義域，只有在定義域內(nèi)研究函數(shù)的性質(zhì)才有意義。如將參數(shù)問題進(jìn)行分類討論，借助數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)。

二、創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)概念探究應(yīng)用，層層推進(jìn)

蘇洪雨、章建躍、郭慧清指出“通過創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生理解與把握函數(shù)的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思考，再現(xiàn)函數(shù)概念的創(chuàng)造過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成。”由此，教師在習(xí)題課的課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合典型例題，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題的過程中，層層推進(jìn)，鞏固其對函數(shù)概念的正確理解與應(yīng)用。

在本節(jié)習(xí)題課中，問題情境由3個典型例題組成的問題鏈架構(gòu)，其中例題1～2探索函數(shù)的概念與表示方法，例題3探究函數(shù)的概念應(yīng)用。在處理每一個例題時，筆者步步設(shè)問，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行思考辨析，層層深入，直至把問題解決，在分析與處理問題過程中，鞏固函數(shù)概念的理解與應(yīng)用。如在例題3中，問題呈現(xiàn)后，筆者啟發(fā)學(xué)生通過函數(shù)定義，對兩個相同函數(shù)進(jìn)行辨析，進(jìn)一步探究變量與變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對的法則不一定不同。隨后，在確定兩個函數(shù)是相同函數(shù)之后，進(jìn)一步通過問題的形式，引領(lǐng)學(xué)生再從圖象法、列表法的角度進(jìn)行驗證，熟悉函數(shù)的三種表示方法。通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步深化同學(xué)們對“對應(yīng)關(guān)系”的理解。筆者將教學(xué)片段呈現(xiàn)如下：

例題2：判斷下列兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)：f( x)=x( x∈{0 ，1})，g( x)=x2( x∈{0 ，1})，并說明理由。

變式：若f( x)=x( x∈［0，1］)，g( x)=x2（x∈［0，1］），則兩函數(shù)相同嗎？并說明理由。

教師：兩個函數(shù)相同嗎？

學(xué)生1：不相同，因為y=f（x）是一次函數(shù)，y=g（x）是二次函數(shù)。

學(xué)生2：和同學(xué)1的觀點相同。

教師：請大家再回顧一下函數(shù)的定義，結(jié)合定義對比分析y=f（x）、y=g（x），再次判斷是否相同？

學(xué)生3：當(dāng)x=0時，對應(yīng)的函數(shù)值都是0；當(dāng)x=1時，對應(yīng)的函數(shù)值都是1；所以它們是相同的函數(shù)。

教師：非常棒！請同學(xué)們再畫出y=f（x）、y=g（x）的圖象，或者用列表形式表示，進(jìn)行觀察，來判斷是否是相同函數(shù)。

學(xué)生（全體）：他們的圖象是相同的兩個點，列表也是相同的。

教師：這驗證了同學(xué)3的觀點是正確的。

教師：如果改變定義域，請看變式，這兩個函數(shù)還相同嗎？

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)要從片面講授提升為全面發(fā)展學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念并應(yīng)用不是一件“輕而易舉”的事。本文以一節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”習(xí)題課為例，跳出傳統(tǒng)教學(xué)套路，設(shè)計典型例題，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過問題辨析，不斷深入與探究，鞏固對函數(shù)概念的理解，提升運(yùn)用函數(shù)知識解決問題的能力，最終發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)。在這節(jié)課反饋環(huán)節(jié)，當(dāng)聽到學(xué)生說“顧老師把函數(shù)的概念講得深入淺出，妙趣橫生，我真正理解了函數(shù)”時，筆者倍感欣慰。

總的來說，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師任重道遠(yuǎn)，要敢于嘗試通過創(chuàng)設(shè)各種情境，引導(dǎo)學(xué)生多觀察，多思考，多探究，在辨析與解決問題中，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。