巧構圖　現等腰

盧宗凱

大連理工大學附屬學校張穎老師的直播課《重構等腰三角形》選自遼寧教育學院“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

在張穎老師的課堂上，一題多法構造等腰三角形，將圖形中的轉化思想體現得淋漓盡致. 同學們在解題時，若看見二倍角，也可以聯想并構造等腰三角形.

模型構建

基本模型：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，點D在CB上，且∠B = 2∠CAD. 若以AC為對稱軸，將△ACD翻折，得到△ACE，則∠E = ∠BAE.

解析：設∠CAD = x，則∠ABC = 2x，∠E = 90° - x，

∴∠BAE = 180° - 2x - （90° - x） =? 90° - x，

∴∠E = ∠BAE.

基本模型結論：△ABE和△AED都是等腰三角形.

模型運用

例1 如圖2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，點D在CB上，且∠B = 2∠CAD，若CD = 1，AB = 5. 求AC的長.

解析：以AC為對稱軸，將△ACD翻折，如圖1，由基本模型結論可知△ABE和△AED是等腰三角形，且∠AEB = ∠BAE，易得BE = AB = 5，BC = BE - CE = 4.

在Rt△ABC中，AC = √（AB-BC） =√ （5-4） = 3.

反思：再以AC為對稱軸，將△ACB翻折，如圖3，由基本模型結論可知△ADF和△AFB是等腰三角形，從而求出AC.

變式延伸

例2 如圖4，在△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 60°，D在CB的延長線上，E在BC上，BD = 2CE，∠BAE = 2∠BAD，若AB = 8，求AE.

解析：設∠BAD = α，∠BAE = 2α，

∵∠ABC = 60°，∴∠D = 60° - α，∠AEC = 60° + 2α.

出現二倍角，可聯想構造等腰三角形. 對照基本模型，延長EC至F，使CF = CE，連接AF，如圖5.

易得△AEF是等腰三角形，AE = AF，

∴∠F = ∠AEC = 60° + 2α，

∴∠DAF = 180° - ∠D - ∠F = 60° - α，

∴∠D = ∠DAF，∴AF = DF.

設CE = x，則BD = 2x，

∵∠ACB = 90°，∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 30°，

∴BC = [1/2AB] = 4，∴AC = [4√3]，

∴AF = DF = 2x + 4 + x = 3x + 4.

根據AF2 = AC2 + CF2，可得（3x + 4）2 = （[4√3]）2 + x2，∴（x + 4）（x - 1） = 0，

∵x > 0，∴x + 4 > 0，∴x = 1，∴AF = 7，∴AE = AF = 7.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：12分鐘

1. 如圖6，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC > AC，點D在BC邊上，DB = 3DC，2∠B = ∠CAD，若AD = 5，求AB的長.

2. 如圖7，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，已知S△ADC = 14，S△ABD = 10，求△ABC的面積.

3. 如圖8，在△ABC中，AC = 2AB，AD平分∠BAC，交BC于點D，點E是AD上的一點，且EA = EC.? 求∠ABE的度數.

參考答案

1. AB = [4√10]（提示：延長BC至E，使CE = CD，連接AE）

2. 28 3. 90°