高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)路徑

連秋喬

摘 要：數(shù)學(xué)是一個(gè)特別注重學(xué)生思維能力與思維邏輯的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)必須時(shí)刻保持清晰的頭腦，將對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思考與對(duì)數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)融合到一起，順著既定或未定的思維鏈條來(lái)展開(kāi)整體視角下的解讀與分析，才能夠真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化與遷移。因此，有關(guān)思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中十分重要的一個(gè)模塊，尤其是在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，高中生雖然已經(jīng)形成了相對(duì)成熟的思維認(rèn)知體系，但其思維能力還沒(méi)有得到完全開(kāi)發(fā)，本文就圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)來(lái)展開(kāi)分析，在簡(jiǎn)單介紹逆向思維融入高中數(shù)學(xué)的定義及其對(duì)教學(xué)的價(jià)值以后，綜合學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況與學(xué)習(xí)需求提出一些具體的策略，以求能夠從思維鍛煉和培養(yǎng)出發(fā)為學(xué)生提供更加全面的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，讓學(xué)生收獲知識(shí)、能力、思維等多個(gè)層面的發(fā)展與提升。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；逆向思維；培養(yǎng)路徑

進(jìn)入新時(shí)代以后，教師的教育就不再止于教材中知識(shí)的教學(xué)，還包含對(duì)學(xué)生思維的調(diào)動(dòng)與開(kāi)發(fā)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中包含的“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”都是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中需要建立的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思維，而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維的針對(duì)性培養(yǎng)則更能幫助學(xué)生明確數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用路徑，讓學(xué)生真正掌握靈活應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)思考與解決現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。站在核心素養(yǎng)的教育視域下，教師應(yīng)當(dāng)從實(shí)際出發(fā)，結(jié)合課標(biāo)內(nèi)容與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行更深層次的研究與探討，有意識(shí)地對(duì)學(xué)生未來(lái)的成長(zhǎng)和發(fā)展做出新的思考，探尋解決學(xué)生思維能力發(fā)展與知識(shí)水平提升不匹配這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效路徑。有關(guān)逆向思維的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師尤其需要關(guān)注并完成的任務(wù)，而在此之前教師還需要對(duì)數(shù)學(xué)逆向思維展開(kāi)更加全面且細(xì)致的研究。

一、數(shù)學(xué)逆向思維概述

顧名思義，逆向思維實(shí)際上就是一種反過(guò)來(lái)思考的思維方式，即從相反的視角出發(fā)對(duì)平時(shí)司空見(jiàn)慣或已成定論的事物、觀(guān)念等展開(kāi)新的思考，“司馬光砸缸”這一經(jīng)典寓言故事中的“把缸砸破，讓水離人”就是逆向思維的一種體現(xiàn)與應(yīng)用，在某些正向思維容易遇到瓶頸或受到阻礙的特殊情況下，對(duì)逆向思維的合理運(yùn)用就能夠有效且高效地解決問(wèn)題。普遍性、批判性和新穎性是逆向思維的三大特點(diǎn)，反轉(zhuǎn)型逆向思維法、轉(zhuǎn)換型逆向思維法、缺點(diǎn)逆向思維法是逆向思維的三大類(lèi)型，正向思維與逆向思維一同組成了線(xiàn)性思維，為人類(lèi)向一個(gè)領(lǐng)域延伸的深度思考活動(dòng)提供了理論支持和方向指引，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)滿(mǎn)足了培養(yǎng)學(xué)生多種數(shù)學(xué)思維的需求，也為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和效果提供了助力。

（一）逆向思維融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的定義

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間及信息等概念的學(xué)科，其知識(shí)概念和定理除了具有很強(qiáng)的抽象性與理論性以外，還呈現(xiàn)出了一種雙向、互通的趨勢(shì)，在知識(shí)難度更高、知識(shí)復(fù)雜性更強(qiáng)的高中階段尤為明顯。將逆向思維融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)中存在著的各種涉及“互為”的關(guān)系概念，如“互為相反數(shù)”等，而在理解“互為”一詞的概念和定義時(shí)，教師就需要結(jié)合雙向思維來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)不同的角度出發(fā)展開(kāi)思考，借數(shù)學(xué)體系中的一些相反或相對(duì)的概念來(lái)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)化，這一方面是為了借正逆兩個(gè)方向上的定義來(lái)加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，另一方面是為了打破學(xué)生思維的定式與局限，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面思考的能力。

（二）逆向思維培養(yǎng)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值

1.開(kāi)發(fā)學(xué)生智力

正向思維是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維形式，通過(guò)已知的條件來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)和求證，以得到正確的結(jié)論和計(jì)算出準(zhǔn)確的結(jié)果，實(shí)際上這種正向思維方式也確實(shí)能夠解決大部分?jǐn)?shù)學(xué)題目和大部分現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。但在長(zhǎng)期的正向思考慣性下，學(xué)生的思維方式會(huì)變得非常單一，進(jìn)而在完成某一個(gè)層次的提升和突破以后出現(xiàn)智力開(kāi)發(fā)的瓶頸，在遇到正向思維不太能快速解決的問(wèn)題時(shí)陷入思維怪圈，浪費(fèi)大量的時(shí)間與精力，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)更有益于扭轉(zhuǎn)學(xué)生的思維方式，為學(xué)生智力的開(kāi)發(fā)提供更大的助力。

2.激發(fā)學(xué)生興趣

興趣是學(xué)生自覺(jué)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)最大也最有用的動(dòng)力，雖然這種動(dòng)力會(huì)隨著年級(jí)和年齡的增長(zhǎng)而逐步降低存在感，但學(xué)生學(xué)習(xí)興趣是否被激發(fā)及學(xué)生學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)到了什么程度仍然是能夠決定學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵，順向的思維方式容易讓學(xué)生產(chǎn)生疲勞，反方向的逆向思維則更加新穎，能為學(xué)生帶來(lái)一種眼前一亮的感覺(jué)，進(jìn)而達(dá)到激發(fā)學(xué)生興趣與主觀(guān)能動(dòng)性的目的。實(shí)際上教師也可以通過(guò)對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)來(lái)鍛煉學(xué)生的觀(guān)察能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題提供新的靈感。

3.提升學(xué)生創(chuàng)造力

相較于順向或者說(shuō)正向的思維方式，逆向思維的創(chuàng)造性更強(qiáng)，與常規(guī)視角相反的思維方向往往更容易發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律或新的事物，因而在順向思維與逆向思維的融合背景下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和問(wèn)題的思考是更加開(kāi)闊且更具有創(chuàng)造性的，這對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)造能力的提升來(lái)說(shuō)具有極為重要的意義。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)路徑

數(shù)學(xué)是一門(mén)注重于理論學(xué)習(xí)和公式運(yùn)用的學(xué)科，有著很強(qiáng)的應(yīng)用性和實(shí)操性，也只有落實(shí)于實(shí)際問(wèn)題思考與解決的實(shí)踐活動(dòng)才能為學(xué)生能力與思維的發(fā)展提供實(shí)質(zhì)上的幫助。高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)有著較強(qiáng)的復(fù)雜性，教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)的難度較高，正向思維邏輯下對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考與解讀也容易遇到阻礙，尤其是在面對(duì)一些已有結(jié)論的事物或相對(duì)成熟的觀(guān)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生常常陷入不明所以的尷尬境地，由傳統(tǒng)思維帶來(lái)的刻板印象更是可能對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思考起到反作用。對(duì)此，教師需要在不脫離教材內(nèi)容與課程標(biāo)準(zhǔn)的前提條件下，突破傳統(tǒng)思維的上限與局限，站在與傳統(tǒng)思維模式相反的視角下篩選教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生打破經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣帶來(lái)的思考壁壘，為學(xué)生提供更多逆向思考的鍛煉機(jī)會(huì)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與綜合素質(zhì)的發(fā)展與提升。

（一）基于數(shù)學(xué)概念的對(duì)比來(lái)生成逆向思維

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)的組成部分，主要教學(xué)的是數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)理論知識(shí)，而對(duì)這些基礎(chǔ)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解往往也是學(xué)生深層次思考的前提與基礎(chǔ)，同時(shí)也因?yàn)榻處熼L(zhǎng)期以來(lái)在概念教學(xué)環(huán)節(jié)中采用的都是填鴨式的灌輸教學(xué)方式，所以概念教學(xué)也是學(xué)生形成刻板思維與定式思維的主要誘因，對(duì)此教師須得本著一邊“疏”，一邊“通”的思維理念，從數(shù)學(xué)概念出發(fā)，借由對(duì)比式的教學(xué)來(lái)生成學(xué)生的逆向思維[1]。

以人教A版高中數(shù)學(xué)必修一中的函數(shù)教學(xué)為例，函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中十分重要的一個(gè)教學(xué)模塊，學(xué)生需要學(xué)習(xí)各種不同函數(shù)的概念、性質(zhì)、模型與應(yīng)用，高中之前的數(shù)學(xué)教學(xué)中側(cè)重于“正函數(shù)”的教學(xué)，進(jìn)入高中以后學(xué)生便要開(kāi)始接觸到有關(guān)“反函數(shù)”的內(nèi)容。而函數(shù)正、反概念的對(duì)比教學(xué)也是教師展開(kāi)對(duì)學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的切入點(diǎn)之一，對(duì)此教師可以在函數(shù)為主的教學(xué)活動(dòng)中為學(xué)生設(shè)置諸如“所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？”“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在定義域與值域上體現(xiàn)出了什么樣的關(guān)系？”一類(lèi)的探討課題，引導(dǎo)學(xué)生從自身原有的認(rèn)知出發(fā)，結(jié)合正、反函數(shù)的圖像對(duì)比來(lái)進(jìn)行多角度的思考，嘗試?yán)媚嫦蛩季S來(lái)推導(dǎo)反函數(shù)的定義與性質(zhì)。而在這種自主進(jìn)行且難度遞增的逆向探討與逆向思考中，學(xué)生幾乎不受原有思維邏輯與思維定式的影響，思維品質(zhì)與問(wèn)題解決能力也能夠得到更大的提升。

（二）基于數(shù)學(xué)定理的逆推來(lái)培養(yǎng)逆向思維

在數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域中，概念主要指的是反映數(shù)學(xué)事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，相對(duì)來(lái)說(shuō)更加抽象，而定理主要指的是可以通過(guò)邏輯推理推導(dǎo)或驗(yàn)證的公理依據(jù)，相對(duì)來(lái)說(shuō)更加客觀(guān)。具體而言，定理指的多是基于既有命題證明出來(lái)的命題，而證明定理也可以說(shuō)是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)，基于數(shù)學(xué)定理的逆推是數(shù)學(xué)逆向思維的一種體現(xiàn)和鍛煉方式，因此教師也可以從數(shù)學(xué)定理出發(fā)，借由逆推式的教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維[2]。

以人教A版高中數(shù)學(xué)必修二中正弦定理與余弦定理的互變?yōu)槔叶ɡ砗陀嘞叶ɡ矶际侨切沃惺种匾亩ɡ?，也是解三角形?lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題中十分重要的切入點(diǎn)和突破口。而在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，教師在帶領(lǐng)學(xué)生完成正弦變余弦的轉(zhuǎn)化以后，可以將余弦變正弦的轉(zhuǎn)化作為逆向思維的一個(gè)逆推任務(wù)布置給學(xué)生，要求學(xué)生先思考“余弦是否可以通過(guò)某種方式再轉(zhuǎn)化為正弦”，然后再?lài)L試結(jié)合課堂上所學(xué)的知識(shí)來(lái)驗(yàn)證自己思考的結(jié)果。

（三）基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的代入來(lái)發(fā)展逆向思維

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)操解題環(huán)節(jié)，以果溯因和反向代入是培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生逆向思維的兩種有效途徑，基于做題是提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)解題能力的主要路徑這一基礎(chǔ)認(rèn)知，教師有必要將對(duì)學(xué)生思維的鍛煉和提升落實(shí)到實(shí)際的解題過(guò)程中，除了在講解習(xí)題的時(shí)候讓學(xué)生將計(jì)算出來(lái)的答案代入題目中進(jìn)行反向驗(yàn)證以外，對(duì)于“無(wú)法計(jì)算出結(jié)果”或“結(jié)果驗(yàn)證不正確”這兩種情況，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在反向代入題干元素或轉(zhuǎn)化題干條件以后再進(jìn)行求解與求證[3]。

以“已知，，，試證明，，是否成立”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題為例，學(xué)生在正向思維導(dǎo)向下的解題在很多時(shí)候并不能夠保證“，，”的結(jié)論成立或不成立，解題步驟的煩瑣和無(wú)序還容易讓學(xué)生陷入思維誤區(qū)，將簡(jiǎn)單的問(wèn)題變得復(fù)雜，將復(fù)雜的問(wèn)題變得抽象，影響解題效率和準(zhǔn)確率。而在逆向思維導(dǎo)向下，學(xué)生可以先假設(shè)、、其中一個(gè)不大于零，如“≤0，>0，>0”的結(jié)論成立，然后將其轉(zhuǎn)化為題干條件，代入問(wèn)題反證“，，”這三個(gè)結(jié)論是否成立，如果學(xué)生得出的結(jié)論與問(wèn)題條件相同，那么就證明原結(jié)論成立，反之如果學(xué)生得出的結(jié)論與問(wèn)題條件相反，那么就證明原結(jié)論不成立。數(shù)學(xué)概念與定理本身的抽象性決定了數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性，學(xué)生在解題時(shí)需要站在多個(gè)不同的角度進(jìn)行思考，以避免進(jìn)入死胡同。

（四）基于數(shù)學(xué)公式的逆用來(lái)鞏固逆向思維

從某種意義上講，逆向思維可以被看作是一種思維的發(fā)散，但實(shí)際上又與常規(guī)意義下的發(fā)散思維存在一定的差異，發(fā)散思維指的是大腦在思考時(shí)呈現(xiàn)出來(lái)的一種擴(kuò)散狀態(tài)的思維模式，而逆向思維本質(zhì)上還是一種呈線(xiàn)性狀態(tài)的思維模式，是反視角下對(duì)思維深度的延伸而非對(duì)思維廣度的拓展。基于此，高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)和開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)中還可以從數(shù)學(xué)公式出發(fā)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)公式的逆用來(lái)刺激和鞏固學(xué)生的逆向思維。

以人教A版必修第一冊(cè)中第五章《三角函數(shù)》為例，三角函數(shù)雖然在三角形和圓等幾何圖形性質(zhì)的研究中能夠起到重要作用，但其在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中通常會(huì)被歸類(lèi)到代數(shù)模塊中，圍繞著“、、、、、”，三角函數(shù)可以被衍生出十組誘導(dǎo)公式，而教師在教學(xué)這一部分內(nèi)容時(shí)就可以基于三角公式函數(shù)的逆用來(lái)鍛煉和鞏固學(xué)生逆向思維。如在講授“已知，求的值”這一問(wèn)題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)原公式的逆用來(lái)計(jì)算結(jié)果，即=+

1-=-，然后借的值來(lái)推算和的值，最后將推算出的值再代入公式中進(jìn)行計(jì)算，得出更為準(zhǔn)確的結(jié)果。課堂上基于公式逆用的運(yùn)算鍛煉不僅有助于深化學(xué)生對(duì)公式的理解，還有助于養(yǎng)成學(xué)生靈活逆用公式的意識(shí)和鍛煉學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力[4]。

（五）基于數(shù)學(xué)結(jié)果的反證來(lái)延伸逆向思維

在高中數(shù)學(xué)課堂上的逆向思維訓(xùn)練中，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的反證可以說(shuō)是學(xué)生最容易理解也被教師最廣泛應(yīng)用的一種思維訓(xùn)練方式，尤其是在高中“幾何”模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，立體幾何領(lǐng)域中存在著大量利用正向思維解起來(lái)十分麻煩，而利用反向思維解起來(lái)卻十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，反方向思考可以在很大程度上降低學(xué)生理解與解答立體幾何相關(guān)題目的難度，這一層面上針對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練與延伸也可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的剛需。

以人教A版必修第二冊(cè)第八章《立體幾何初步》為例，教材中針對(duì)立體幾何圖形中點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的證明設(shè)置了大量的例題，借由結(jié)合例題來(lái)進(jìn)行的推論幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解幾何相關(guān)的概念、定理和解題方法。而學(xué)生在解題過(guò)程中十分容易出現(xiàn)只考慮一種情況或遺漏某一種情況的問(wèn)題，導(dǎo)致最終得出的結(jié)果或結(jié)論不夠全面與準(zhǔn)確，這時(shí)候教師就可以引導(dǎo)學(xué)生在得出結(jié)果或結(jié)論以后反推公式進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生從結(jié)果出發(fā)去尋找解題過(guò)程中可能存在的問(wèn)題，幫助學(xué)生建立新的數(shù)學(xué)解題思路。除此以外，教師還可以通過(guò)舉反例的方式來(lái)延伸學(xué)生的逆向思維，在講解例題時(shí)要求學(xué)生基于既定的命題來(lái)舉出一個(gè)新的條件來(lái)否定該命題，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)進(jìn)行多視角的思考。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文以“逆向思維”為主要探討對(duì)象，借高中數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)展開(kāi)對(duì)“如何培養(yǎng)學(xué)生逆向思維”這一問(wèn)題的思考，從逆向思維之于數(shù)學(xué)的重要性和作用價(jià)值出發(fā)，分別圍繞著數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)結(jié)果等多個(gè)數(shù)學(xué)元素對(duì)高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與開(kāi)展提出了一些建議。實(shí)際上，針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維的鍛煉與培養(yǎng)符合新時(shí)代、新課標(biāo)背景下社會(huì)對(duì)教育人才培養(yǎng)提出的要求，也更能滿(mǎn)足如今社會(huì)發(fā)展和學(xué)生成長(zhǎng)的實(shí)際需求，為高素質(zhì)實(shí)用型人才的養(yǎng)成提供更大的助力，而教師在此過(guò)程中需要借由對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)來(lái)同步達(dá)成兩個(gè)教育目標(biāo)，一是拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)解題的思路，二是突破學(xué)生思維發(fā)展的上限，為學(xué)生未來(lái)的成長(zhǎng)和數(shù)學(xué)課程未來(lái)的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

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