基于改進多目標遺傳算法的變截面渦旋盤優化設計

趙睿琦

（中國葛洲壩集團股份有限公司，湖北武漢 430034）

0 引言

渦旋壓縮機具有微振低噪、高效節能、結構緊湊且運轉平穩等特點[1]，目前被廣泛應用于各類氣體壓縮、空調及制冷設備中，并在渦旋增壓器、渦旋泵和渦旋膨脹機等領域發揮著重要作用，具有廣闊的應用前景和市場[2]。

渦旋盤是渦旋壓縮機的主要零件，對渦旋機械的性能有決定性影響[3]，如何得到綜合性能更好的渦旋盤型線已經成為國內外學者的研究熱點[4]。Gravesen等人[5]基于微分幾何理論，研究了平面曲線特征方程，為優化研究奠定了基礎；An等人[6]對渦旋盤結構參數進行了優化，提高了壓縮機性能；Liu等人[7]基于協同優化方法成功提高了渦旋盤的能效比；陳進等人[8]利用共享小生境技術的非劣優選遺傳算法對渦旋盤進行了優化；王立存等人[9]利用泛函對變壁厚通用渦旋型線理論及形狀優化做了研究；劉濤等人[10]利用Matlab遺傳算法工具箱對變截面組合型線的連接點進行了優化。

由上述文獻可知，目前變截面渦旋盤的優化設計大多是基于遺傳算法，以壓縮比和面積利用系數這兩個幾何指標為優化目標進行的優化設計。然而，遺傳算法存在過早收斂和后期搜索遲鈍的問題，容易陷入局部最優解[11]。此外，僅以壓縮比和面積利用系數最大為優化目標設計的變截面渦旋型線在齒頭部分較薄弱，工作過程中承受較大的氣體力，導致渦旋盤的力學性能變差[12]。為了使變截面渦旋盤兼具良好的幾何性能和力學性能，本文提出在變截面渦旋盤的優化設計中，引入齒頭修正部分優化，以動渦旋盤所受軸向氣體力最小和壓縮比最大作為設計目標，采用改進多目標遺傳算法，尋求由基圓漸開線-高次曲線組成的變截面渦旋盤多目標優化的Pareto非劣解集，將優化結果與傳統的變截面渦旋盤進行對比分析，驗證該優化設計方法的可行性及優越性。

1 變截面渦旋盤優化設計模型

1.1 渦旋盤型線的表達

本文以基圓漸開線-高次曲線組成的組合型線變截面型線為研究對象，此類型線具有較短的泄漏線長度，減少了能量的損耗，符合綠色設計理念。該組合型線的各段基線方程可以表示為：

圓漸開線基線方程為：

高次曲線基線方程為：

非工作段方程為：

式中：（xci，yci）為對應段基線的曲率中心。

為了滿足基線的連續性和光滑性條件，根據共軛曲線的嚙合原理將曲率半徑ρ以泛函的形式表征為：

式中：φ為型線展角；φ1為圓漸開線最大展角；φ2為型線最大展角；a為基圓半徑；b0、b1、b2、b3為高次曲線控制參數。

利用法向等距線法[13]生成的組合型線示意圖如圖1所示。圖中從內向外依次為第一工作腔、第二工作腔和第三工作腔。

圖1 組合型線示意圖

1.2 目標函數

為了能同時提高渦旋盤的力學性能和幾何性能，將能反映渦旋盤力學性能的軸向氣體力和能反映渦旋盤幾何性能的壓縮比作為設計目標。

1.2.1 軸向氣體力的計算

軸向氣體力過大，則動靜渦旋盤會發生脫離，從而使徑向泄漏量增加，故軸向氣體力越小，越有利于提高渦旋壓縮機的力學性能。因此，將軸向氣體力倒數最大作為第一子目標函數，其表現形式為：

其中軸向氣體力Fa的計算公式為：

p3、p2和p1分別為對應工作腔的壓力，其計算公式為：

式中：θ*為開始排氣角；ps為吸氣壓力，取ps=0.101 3 MPa；Vi為對應工作腔容積；κ為氣體的等熵指數，取κ=1.19。

根據法向等距線及母線理論計算工作腔容積，本文構建的組合型線的工作腔容積計算如下：

（1）i=4，完全由高次曲線組成的吸氣腔容積為：

（2）i=3，由高次曲線和圓漸開線組成的第一工作腔容積為：

（3）i=2，由圓漸開線和修正圓弧組成的第二工作腔容積為：

（4）i=1，完全由修正圓弧組成第三工作腔容積為：

式中：θ為曲軸轉角；h為渦旋齒的齒高；Ror為回轉半徑；取φ2=4.5π，φ1=2.5π；Lh為高次曲線對應的基線的弧長；Lc為圓漸開線對應的基線的弧長；α為漸開線發生角；φ為雙圓弧修正展角；λ為修正圓弧中心角；R為修正大圓弧半徑；r為修正小圓弧半徑；Am為修正齒頭軸向投影面積。

1.2.2 壓縮比的計算

壓縮比是衡量渦旋盤性能的指標之一，壓縮比越大，則證明渦旋盤的幾何性能越優良。因此將壓縮比最大作為第二子目標函數，其表現形式為：

其中壓縮比γ的計算公式為：

1.2.3 目標函數的確定

采用權重系數法將多目標優化問題轉化為單目標優化問題，故目標函數的表現形式為：

式中：ωi為權重系數；fi（X）為子目標函數。

1.3 設計變量和約束函數

通過對上述型線及目標函數的解析構成形式進行分析，確定設計變量為：

考慮到渦旋壓縮機應用于轎車、空調等有限空間，限定渦旋盤最大嚙合半徑D的范圍為：

根據式（20）引入控制參數的約束函數為：

考慮到渦旋盤的剛度、強度和密封性要求，需將壁厚t限定在約束范圍內，渦旋盤壁厚t的范圍為：

根據式（22）引入回轉半徑Ror的約束函數為：

考慮到齒頭處的強度要求以及避免刀具干涉，引入修正圓弧中心角λ的約束函數為：

2 優化算法

2.1 標準遺傳算法

標準遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法，直接對結構對象進行操作，具有內在的隱并行性和良好的全局尋優能力。但由于存在著容易過早收斂和后期搜索遲鈍的缺點，往往得不到理想的最優解[14]。

2.2 改進遺傳算法

針對標準遺傳算法的缺點，本文通過引入自適應交叉和變異算子、采用精英保留策略和引入自適應的適應度函數等3種方法來改善。

對于自適應交叉和變異算子，其表現形式為：

式中：Pc為交叉算子，Pc1=0.9，Pc2=0.6；Fmax為當代種群中最大適應度值；Fave為當代種群的平均適應度值；Fc為要交叉的兩個個體間較大的適應度值。

式中：Pm為變異算子，Pm1=0.01，Pm2=0.001；Fm為當前要變異的個體的適應度值。

從式（25）和（26）可以看出，本文引入的交叉和變異算子會隨著種群的當前狀態進行自我調節。針對交叉算子，當要交叉的兩個個體中較大的適應度值大于當代種群平均適應度值時，則會適當減小交叉概率，從而保證了個體具有較高的概率將優秀基因遺傳給下一代。當要交叉的兩個個體中較大的適應度值小于當代種群平均適應度值時，則提高交叉概率，減小了個體將不良基因遺傳給下一代的概率。

針對變異算子，當個體的適應度值大于種群平均適應度值時，適當減小變異概率，保存優良基因。當個體的適應度值小于種群平均適應度值時，則增加不良基因變異的概率。采用上述自適應交叉和變異算子，在保存優良基因的前提下，不僅改善了不良基因，同時也增加了種群的多樣性，提高了算法的效率，避免了早熟。

標準遺傳算法后期搜索遲鈍是由于在搜索后期，種群中個體的適應度值趨于一致，不易區分。因此引入自適應的適應度函數，表現形式為：

式中：N為種群大小。

隨著遺傳代數的不斷增加，通過式（28）可以對適應度值進行一定的拉伸，增大個體適應度值的區分度，使遺傳算法中的選擇更有擇優的效果。改進多目標遺傳算法設計流程如圖2所示。

圖2 流程圖

3 實例分析

采用Matlab軟件編制程序，進行優化設計參數求解。取初始T0=4，種群規模為100，每個染色體的長度為32位（二進制），終止遺傳代數為500代，迭代過程如圖3所示。

圖3 進化過程

圖中標準GA算法過早陷入局部最優解，而改進GA算法早期在不斷進化，在進化的后期目標函數也有小幅提升，且經過多次測試，目標函數值均收斂于4.3附近，從而證實了本文引入的改進方法確實改善了標準遺傳算法容易早熟和后期搜索遲鈍等缺點。部分全局Pareto非劣解如表1所示。

取表1中第3組數據構建優化型渦旋盤，繪制其動靜渦旋型線的嚙合圖，如圖4所示。從中可以看出，本文優化設計的渦旋型線完美嚙合且具有良好的形態性能。

圖4 動靜渦旋型線共軛嚙合圖

表1 型線優化結果數據表

將優化設計后的變截面渦旋盤與文獻[15]中傳統型進行性能對比，如表2和圖5所示。從表2可以看出，優化后的渦旋盤相比傳統變截面渦旋盤，最大軸向氣體力減少了25.53%，壓縮比和面積利用系數分別提高了4.36%和9.44%。圖5所示為渦旋盤所受軸向氣體力隨主軸轉角的變化歷程，優化后的渦旋盤軸向氣體力在所有時刻均小于傳統變截面渦旋盤。

圖5 軸向氣體力變化圖

表2 變截面渦旋盤性能對比表

4 結論

（1）本文基于改進多目標遺傳算法，提出了綜合考慮力學性能和幾何性能的渦旋盤多目標優化設計，成功求解出變截面渦旋盤多目標優化問題的Pareto非劣解集。

（2）將Pareto非劣解集中的渦旋盤和傳統變截面渦旋盤的性能指標進行對比，其最大軸向氣體力減少了25.53%，壓縮比和面積利用系數分別提高了4.36%和9.44%，表明了本文的優化方法可以設計出力學性能和幾何性能均比傳統變截面渦旋盤有所提高的新渦旋盤。