借助定義，妙破問題

?安徽省臨泉田家炳實驗中學 石朝陽

定義是相關知識的理論基礎和精神靈魂，借助定義，回歸本質，往往是破解問題的一個基本切入點.圓錐曲線中的拋物線，其定義很好地反映了曲線的本質特征，揭示了曲線存在的幾何性質與規律.回歸拋物線定義，應用拋物線定義，實現拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的合理轉化，即實現“兩點距離”和“點線距離”之間的合理轉化，是破解拋物線問題中非常常用的一個技巧方法.

1 線段長度的計算

例1[2021屆廣東省(新高考)高三衛冕聯考數學試卷·16]已知拋物線x2=8y的焦點為F，準線為l，點P是l上一點，過點P作PF的垂線交x軸的正半軸于點A，AF交拋物線于點B，PB與y軸平行，則|FA|=.

分析：作出對應的圖形，通過輔助線的構建，借助拋物線定義的轉化，結合平面幾何知識，利用角的等價轉化確定直角三角形的性質，并利用平行關系以及梯形中位線的性質加以轉化，數形結合，巧妙求解.

解析：如圖1，由題意可得F(0，2)，設直線l與y軸的交點為D，可得|OD|=|OF|=2.過點A作直線l的垂線，垂足為E.

圖1

根據拋物線的定義，可得|BF|=|BP|，從而∠BFP=∠BPF.

又PA⊥PF，則有∠BFP+∠BAP=∠BPF+∠BPA，可得∠BAP=∠BPA，從而|BA|=|BP|.

易知PB是Rt△APF斜邊AF上的中線，可得B是AF的中點.又PB與y軸平行，可得P是DE的中點.所以|FA|=2|PB|=|DF|+|OD|=4+2=6.

故填答案：6.

點評：合理借助拋物線的定義，實現線段長度之間的轉化，利用平面幾何知識，數形結合，直觀想象，可以很好地加以分析與處理.在實際利用拋物線定義時，為了實現拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的轉化，經常要通過輔助線的構建來達到目的.

2 參數取值的求解

例2[2021屆廣東省佛山市高中教學質量檢測(二)高三數學試卷·15]已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，K為C的準線l與x軸的交點，過點K且傾斜角為45°的直線與C僅有一個公共點P(3，t)，則t=.

分析：根據題目條件作出對應的圖形，過切點作直線垂直于拋物線的準線，利用三角形形狀的判定，設出對應的邊長，并結合拋物線的定義以及題目條件，利用余弦定理在△PKF中建立關系式，進而確定兩參數之間的關系，結合題目條件中切點的坐標信息加以綜合，進而確定對應的參數值.

圖2

故填答案：6.

點評：利用平面幾何法破解與拋物線有關的數學問題時，經常通過拋物線的定義巧妙轉化，數形結合，直觀想象，有機“串聯”起解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關知識，結合平面幾何圖形與性質，綜合相關知識來解決問題.

3 最值問題的確定

例3(2021屆山東省濟南市高三十一校聯考數學試卷·15)已知點M(-4，-2)，拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PQ⊥l，點Q為垂足，過P作拋物線的切線l1，l1與l交于點R，則|QR|+|MR|的最小值為.

分析：根據題目條件，設出點P的坐標，進而確定相關點的坐標，結合導數的幾何意義以及兩直線垂直的斜率關系來確定直線的垂直問題，利用拋物線的定義以及平面幾何的性質加以轉化，數形結合來確定線段長度的和式的最值問題.

圖3

故填答案：5.

點評：確定拋物線上一些相關線段長度代數式的最值問題時，經常借助拋物線的定義，把對應的線段加以合理轉化，實現拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的轉化，并與其他線段加以有機融合，或數形結合，或利用幾何意義，或不等式放縮，直觀想象，邏輯推理，巧妙確定.

4 取值范圍中的應用

分析：借助圖形直觀，通過輔助線的構建，結合拋物線定義加以轉化，合理借助梯形性質，利用余弦定理建立關系式，結合基本不等式加以合理放縮，進而建立相應的不等式，得以判斷對應線段比值的取值范圍問題.

解析：如圖4，設|AF|=a，|BF|=b，過點A，B分別作拋物線準線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P.

圖4

根據拋物線定義，可得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|.

所以，在梯形ABPQ中，有2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

故填答案：(0，1].

點評：巧妙融合拋物線的定義和簡單幾何性質、基本不等式以及余弦定理等相關數學知識，借助拋物線的定義加以合理轉化，數形結合，合理放縮，為線段比值取值范圍的確定提供條件.

利用拋物線定義，往往能達到回歸問題本質的目的.借助合理構建“兩點距離”和“點線距離”之間的關系，特別是在破解一些拋物線中與焦點有關的線段長度問題時有奇效，實現有機轉化，巧妙應用.在有關數學問題的實際應用時，借助定義，合理轉化，巧妙應用，全面融合數學知識、數學思想方法和數學能力，提升學生數學應用能力，養成良好的思維品質，培養數學核心素養.