概率統計與函數的交匯

?廣州市增城區鄭中鈞中學 周曉霞

在新課標高考數學試卷中，概率統計是其中一大重要的主干知識，特別是其與函數的交匯應用問題，能很好地融入創新情境與交匯知識，實現不同主干知識之間的聯系與轉化，對于考查學生基礎知識、基本能力與思想方法等有很好的效果，倍受命題者青睞.

1 利用二次函數處理概率統計問題

例1(多選題)設實數p滿足0

表1

則當p在(0，1)內增大時( ).

A.E(ξ)減小

B.E(ξ)增大

C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小

點評：利用二次函數(或其他相關的函數類型)來解決概率統計問題時，關鍵是結合相應的概率統計要素構建起對應的函數，進而借助函數的圖象或性質來解決一些相關的單調性、最值等應用問題.

2 利用基本初等函數處理概率統計問題

例2已知樣本x1，x2，……，x2022的平均數和方差分別是1和4，若yi=axi+b(i=1，2，……，2022)的平均數和方差也分別是1和4，則ab=.

綜上可知，ab=1.故答案為1.

點評：抓住一次函數所對應的平均數和方差與對應樣本數據的函數關系式(分別是一次線性函數與二次函數)來構建對應的方程組，這是問題解決的關鍵與切入點，也是概率統計中相關概念的函數基本性質.熟練掌握概率統計中相關概念的函數基本性質等，也是函數概念與性質的深入與應用.

3 利用分段函數處理概率統計問題

例3某超市同一月按每天相同進貨量訂購一種品牌的酸奶，每瓶酸奶對應的進貨成本與售價分別為5元與8元，未售出的酸奶當天晚上九點以后以每瓶3元的價格酬賓全部處理完.根據銷售經驗與當天的最高氣溫(單位：℃)數據信息，如果當天最高氣溫不低于30，需求量為500瓶；如果當天最高氣溫位于區間[25，30)，需求量為300瓶；如果當天最高氣溫低于25，需求量為200瓶.為了確定八月份的預訂數目，統計了當地前三年八月份每天的最高氣溫數據信息，得如表2的頻數分布表：

表2

假設以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

(1)試確定八月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(2)若要求八月份一天銷售這種酸奶的利潤的數學期望值不低于700元，則八月份的每天的進貨量n(單位：瓶)應滿足什么條件？

解析：(1)根據題目條件，需求量X的所有可能取值為200，300，500.

因此所求的分布列如表3所示.

表3

(2)由(1)可知這種酸奶一天的需求量在200至500瓶之間，則只須考慮200≤n≤500，n∈Z.

當300

由E(Y1)≥700，解得n≤400，此時可得300

當200≤n≤300時，設酸奶利潤為Y2，則E(Y2)=0.3[200×3-2(n-200)]+0.7×3n=1.5n+300.

綜上可得，267≤n≤400,n∈Z.

點評：分段函數在概率統計的實際問題中應用比較廣泛，結合概率統計問題中變量的不同分段取值情況，利用分段函數的本質，對應的概率統計要素也要對應地進行分類討論，綜合應用.

4 利用函數的導數處理概率統計問題

例4[2021年廣東省梅州市平遠中學高三(上)第五次段考數學試卷]高校的《博士碩士學位論文抽檢辦法》(教育部2014年印發)通知中規定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.有且僅有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送另外2位同行專家(不同于前3位專家)進行復評，2位復評專家中1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.設每篇學位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p(0

(2)現擬定每篇抽檢論文不需要復評與需要復評的評審費用分別為900元與1 500元，若某次評審抽檢論文總數為3 000篇，求該次評審費用期望的最大值及對應p的值.

(2)設每篇學位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900，1 500，于是

令函數g(p)=p(1-p)2，p∈(0，1)，求導可得g′(p)=(1-p)2-2p(1-p)=(3p-1)(p-1).

點評：在處理與解決實際應用問題中的概率統計變量時，對于一些高次函數等情況，經常可以通過構建對應的函數，結合高次函數的導函數來確定對應高次函數的單調性，由此確定該函數的極值或最值等相關問題，為實際應用與判斷提供理論基礎.

概率統計問題與函數的交匯應用問題，綜合性較強，往往可以借助二次函數、基本初等函數或分段函數，利用函數的單調性解決與隨機變量的數學期望、方差相關的最值問題；或借助導數研究函數的極值點，從而確定概率統計問題中的最優解來決策與應用等.這些概率統計與函數的交匯融合問題，其本質仍是以概率統計為主導進行問題情境創設，利用函數的性質或導數這一工具加以輔助求解或綜合應用，實現基本數學知識之間的交匯融合，促進學生數學應用意識與數學創新能力的提升.