“三點共線向量定理”及其拓展應用

?江蘇省常熟市中學 盛錦星

數學中的一些基本規律、結論具有極高的應用價值，可推廣到實際解題中，因此挖掘習題、模考題中的結論、規律有著現實的意義.下面探究一個與三點共線相關的向量結論，并結合實例進行拓展應用.

1 問題引出

圖1

2 問題溯源

2.1 教材追溯

上述問題中涉及到了“三點共線的向量定理”，實際上該定理在高中教材中就有體現，在教材中有下述一道題例.

圖2

2.2 問題歸納

3 結論強化

上述結論可歸為“三點共線向量定理”.在解題中可利用該定理來推導向量之間的關系，如果向量關系的系數不為1，則可以向“1”轉化.

圖3

4 拓展應用

“三點共線向量定理”在實際解題中有著廣泛的應用，可用于向量推導、系數求解、求最值或范圍分析，同時向量的幾何屬性可用于立體幾何問題破解.使用時除了可以直接由定理推導系數關系外，還可以結合系數關系構造新的向量，形成幾何特性.下面結合實例加以探究拓展.

4.1 應用一：構造向量求范圍

圖4

4.2 應用二：構造向量生成模型

圖5

評析：例2要求∠BAC的余弦值，顯然需要構造直角三角形，題目中給出了2x+10y=5，雖然圖形中不存在三點共線的情形，但對向量關系式變形即可獲得“共線”，通過構造向量推出垂直關系.因此三點共線的向量定理可用于特殊位置關系的構建，基本思路是“系數變形→構造向量→推導共線→生成模型”.

4.3 應用三：空間推導求系數

例3如圖6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M為線段AB的中點.

圖6

(1)證明：C1M∥平面A1ADD；

圖7

評析：“三點共線向量定理”具有幾何屬性，故同樣可用于空間幾何問題中.上述解二面角問題時，進行了基底向量轉化，利用“三點共線向量定理”來推導系數的值，直接求出了向量關系及向量的模.從應用過程來看，是對該定理的正向使用，與平面向量系數問題的使用策略是一致的.

5 教學建議

“三點共線向量定理”來源于教材習題，是三點共線情形下的拓展總結，深刻發掘教材的概念、定理，總結定理的思想方法十分重要.下面深入反思，提出幾點建議.

(1)關注定理，挖掘內涵

“三點共線向量定理”本質上是基于幾何特性，利用向量運算生成的特殊結論.定理體現了共線點之間的位置關系，以及共線向量的代數關系.定理探究要關注定理特征、構建方法、論證過程，以及適用的條件，為后續的定理應用打好基礎.同時，定理中往往隱含了豐富的數學思想，如等量代換、模型構造、化歸轉化等，看似“平常”的向量，實則是知識與數學思想的融合，教學中要充分發揮向量定理的數學思想價值，促進學生數學思想的提升.

(2)提煉策略，應用解題

“三點共線向量定理”有著廣泛的應用性，可以優化解法，簡化過程.學生往往只能掌握定理的常規應用思路，即利用三點共線來推導向量關系中的系數，但該思路僅是定理的淺層應用.實際上可充分結合定理來構造新向量，圖形特征重塑，即對于向量系數和不為“1”的情形，通過向量的拼湊變形，形成滿足定理的特殊情形，從而生成三點共線以及特殊的幾何特性.該種思路可最大化發揮向量的價值，同時也體現出向量“數”與“形”的雙重屬性.

(3)知識聯想，拓展探究

三點共線是幾何中的特殊情形，以向量的形式表示共線充分體現了知識的關聯性.教學中，在完成定理探究的前提下，可引導學生思考哪些幾何知識還可以用向量來表述，從基本的“向量積為零的幾何意義”，深入到“三角形四心的向量形式”，幫助學生完成知識的拓展與升華.而舉例探究中建議立足問題本質，變換問題形式，讓學生在探究中經歷思維的碰撞，在變式中激活學生的思維，發揮探究教學的價值.