“三點共線向量定理”及其拓展應用

?江蘇省常熟市中學 盛錦星

數學中的一些基本規律、結論具有極高的應用價值，可推廣到實際解題中，因此挖掘習題、模考題中的結論、規律有著現實的意義.下面探究一個與三點共線相關的向量結論，并結合實例進行拓展應用.

1 問題引出

圖1

2 問題溯源

2.1 教材追溯

上述問題中涉及到了“三點共線的向量定理”，實際上該定理在高中教材中就有體現，在教材中有下述一道題例.

圖2

2.2 問題歸納

3 結論強化

上述結論可歸為“三點共線向量定理”.在解題中可利用該定理來推導向量之間的關系，如果向量關系的系數不為1，則可以向“1”轉化.

圖3

4 拓展應用

“三點共線向量定理”在實際解題中有著廣泛的應用，可用于向量推導、系數求解、求最值或范圍分析，同時向量的幾何屬性可用于立體幾何問題破解.使用時除了可以直接由定理推導系數關系外，還可以結合系數關系構造新的向量，形成幾何特性.下面結合實例加以探究拓展.

4.1 應用一：構造向量求范圍

圖4

4.2 應用二：構造向量生成模型

圖5

評析：例2要求∠BAC的余弦值，顯然需要構造直角三角形，題目中給出了2x+10y=5，雖然圖形中不存在三點共線的情形，但對向量關系式變形即可獲得“共線”，通過構造向量推出垂直關系.因此三點共線的向量定理可用于特殊位置關系的構建，基本思路是“系數變形→構造向量→推導共線→生成模型”.

4.3 應用三：空間推導求系數

例3如圖6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M為線段AB的中點.

圖6

(1)證明：C1M∥平面A1ADD；……