高考解三角形試題中“算兩次”原理的應用舉例

?湖北省棗陽市第一中學 陳剛明

波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系.”這就是“算兩次”原理，又稱富比尼原理.近幾年高考解三角形試題中多次出現了“算兩次”原理的應用，并從多個角度“算兩次”，現舉例說明.

1 角度算兩次，破解三邊關系問題

例1(2021全國新高考第19題)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

例1的第(1)問比較簡單，過程略.下面主要針對第(2)問進行解析.

在△ABD中，

圖1

化簡，可得3c2-11b2+6a2=0.

又b2=ac，所以3c2-11ac+6a2=0.

即(c-3a)(3c-2a)=0.

所以，在△ABC中，

同理，可得

以下同解法1.

點評：本題解法1中分別在兩個三角形中運用余弦定理對角A的余弦“算兩次”，找出了三邊之間的等量關系.解法2中運用互補角的余弦值互為相反數(互補角的余弦“算兩次”)找出等量關系.

2 長度算兩次，速解邊角關系問題

(1)求A；

(2)由余弦定理，可得

b2+c2-a2=2bccosA=bc.①

因此角B為直角，即△ABC是直角三角形.

點評：本題第(2)問中，題目已經給出了一個長度關系，此解法中運用余弦定理再得到另一個長度關系(長度“算兩次”)，聯立兩個長度關系的方程，得出三角形三邊的關系，命題得以證明.

3 面積算兩次，化解角平分線問題

例3(2018江蘇第13題)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

解法1：如圖2，由S△ABD+S△CBD=S△ABC，結合BD=1，得

圖2

所以4a+c的最小值為9.

點評：本題充分利用角平分線的性質，從一個大三角形的面積與將其分割成的兩個小三角形面積之和兩個方面進行“算兩次”.也可用長度算兩次

解法2：在△ABD與△BCD中，由正弦定理得

4 位置關系算兩次，巧解面積最值問題

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

(2)分兩種極限情況.

當角A為直角時，如圖3所示.

圖3

圖4

點評：本題采用了分類討論的思想，找出了所求面積的極限位置，利用位置關系“算兩次”.