例析數(shù)列不等式常見的證明方法

?南京大學(xué)附屬中學(xué)(江蘇南京) 顧翔薈

數(shù)列不等式一直是高中數(shù)學(xué)中較復(fù)雜的一類問題，其通常是指含有通項(xiàng)an或者前n項(xiàng)和Sn的相關(guān)不等式.遞推式是數(shù)列不等式中常見的表達(dá)形式，蘊(yùn)含著多層次的知識點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想，因此經(jīng)常以壓軸題型出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)中.由于學(xué)生對數(shù)列不等式問題的學(xué)習(xí)較為分散，不具備系統(tǒng)性的理解和分析，故往往不能采取針對性思路解答這類問題.本文中將結(jié)合具體實(shí)例歸納、分析與數(shù)列不等式問題有關(guān)的不同證明方法，以此提供系統(tǒng)性的理論知識，幫助學(xué)生更有針對性地解答數(shù)列不等式問題.

1 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)列不等式問題的常見方法之一.數(shù)學(xué)歸納法通常用來證明具體命題在規(guī)定自然數(shù)范圍內(nèi)成立，同樣適用于數(shù)列不等式問題的證明.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解數(shù)列不等式問題時(shí)，具體解題思路可以概括為：①對問題進(jìn)行分析，結(jié)合已知條件證明n取初始值1時(shí)數(shù)列不等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，對應(yīng)的數(shù)列不等式成立；③利用假設(shè)的數(shù)列不等式，驗(yàn)證n=k+1時(shí)對應(yīng)的具體數(shù)列不等式是否成立；④通過假設(shè)、驗(yàn)證進(jìn)行歸納總結(jié)，證明待證數(shù)列不等式成立，即可對問題做出具體解答.如下例題所示.

例1已知f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P(4，5)和Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)證明：2≤xn

(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

③當(dāng)n=k+1時(shí)，

所以，xk+2-xk+1

即xk+2>xk+1，所以2≤xk+1

故n=k+1時(shí)，不等式2≤xn

綜上所述，對任意的正整數(shù)n，均有不等式2≤xn

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)，命題成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)，則有

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題……