例析數列不等式常見的證明方法

?南京大學附屬中學(江蘇南京) 顧翔薈

數列不等式一直是高中數學中較復雜的一類問題，其通常是指含有通項an或者前n項和Sn的相關不等式.遞推式是數列不等式中常見的表達形式，蘊含著多層次的知識點與數學思想，因此經常以壓軸題型出現在高考數學中.由于學生對數列不等式問題的學習較為分散，不具備系統性的理解和分析，故往往不能采取針對性思路解答這類問題.本文中將結合具體實例歸納、分析與數列不等式問題有關的不同證明方法，以此提供系統性的理論知識，幫助學生更有針對性地解答數列不等式問題.

1 數學歸納法

數學歸納法是證明數列不等式問題的常見方法之一.數學歸納法通常用來證明具體命題在規定自然數范圍內成立，同樣適用于數列不等式問題的證明.運用數學歸納法解數列不等式問題時，具體解題思路可以概括為：①對問題進行分析，結合已知條件證明n取初始值1時數列不等式成立；②假設當n=k時，對應的數列不等式成立；③利用假設的數列不等式，驗證n=k+1時對應的具體數列不等式是否成立；④通過假設、驗證進行歸納總結，證明待證數列不等式成立，即可對問題做出具體解答.如下例題所示.

例1已知f(x)=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P(4，5)和Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

(1)證明：2≤xn

(2)求數列{xn}的通項公式.

③當n=k+1時，

所以，xk+2-xk+1

即xk+2>xk+1，所以2≤xk+1

故n=k+1時，不等式2≤xn

綜上所述，對任意的正整數n，均有不等式2≤xn

②假設當n=k(k≥2，k∈N*)時，命題成立，即

當n=k+1時，則有

所以當n=k+1時，命題仍然成立.

2 放縮法

靈活運用放縮法，能使數列不等式問題的解答更加直觀有效.放縮法具體是指將不等號一側的數列表達式放大或者縮小，證明放縮后的不等式成立從而得到原數列不等式成立的證明方法.運用放縮法解答數列不等式問題的主要解題思路為：①分析題意，將需證明的數列不等式的一側適當放大或縮小；②將放大或縮小后得到的式子與原不等式的另一側比較，利用不等式的傳遞性證明放縮后的不等式成立，即可對數列不等式證明問題做出完整解答.具體應用如例2所示.

例2設數列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*,a1，a2+5，a3成等差數列.

(1)求a1；

(2)求數列{an}的通項公式；

解析：(1)a1=1.過程略.

(2)數列{an}的通項公式為an=3n-2n，n∈N*.過程略.

(1)求數列{cn}的通項公式；

3 函數單調性法

由于數列通項公式可看作特殊類型函數的解析式，故利用函數單調性解答數列不等式問題也是常見方法之一.函數單調性法適用于一側有變量另一側為常數的數列不等式，即將數列通項公式看作函數解析式來研究單調性，從判斷數列的最值與常數的大小關系入手進而解答問題.利用函數單調性法解答問題的具體過程一般可概括為：①對需要證明的數列不等式進行移項分析，將其看作等價對應的函數解析式f(x)；②結合導函數或圖象，分析函數f(x)在正整數范圍內的增減性；③結合單調性判斷函數f(x)，即數列的最值，比較最值與常數的大小關系，證明不等式成立.具體應用步驟和過程如下.

例3已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0，+∞).有f(x)≤kx2成立，求實數k的最小值；

解析：(1)a=1.過程略.

(2)用Sn表示數列{cn}的前n項和，即Sn=c1+c2+c3+……+cn.

上文中僅僅介紹了三種解答數列不等式問題的方法和思路，但數列不等式的證明方法多種多樣，常見的方法還有作差法、分析法等.結合例題不難發現，放縮法相對于其他兩種方法而言，應用難度較大，要求學生準確掌握放縮的技巧和原則，并在實例中多加運用，才能明顯提升正確率與解題效率.