鏈接高等數學，合理巧妙設置

?甘肅省民樂縣第一中學 李運財

高考數學與高等數學知識之間的聯系與過渡，是新課標高考數學命題的一個常見考點.特別如高等數學中的極限思想、高斯函數、函數的凹凸性、不動點定理等，都是高考命題的熱點.通過高中數學與高等數列之間的接軌，創設情境，合理設置，有機過渡，無縫鏈接，是近年高考數學命題中的一個創新亮點，倍受各方關注.

1 極限思想

極限思想是高等數學中最基本的思想方法之一，在高中數學中也經常用到，主要應用體現在兩個方面：一是利用極限思想理解題意與解決問題；二是利用洛必達法則將較難求解的問題簡單化.

分析：根據題目條件中給出的方法加以類比思維，通過對應的分式關系式加以合理設參，建立有關參數的二次方程，結合方程的求解與解的取值限制來確定對應分式關系式的定值問題.

點評：借助極限思想，巧妙將代數關系式的“無限”次重復與代數式定值的“有限”取值加以合理聯系，通過函數與方程思想的轉化加以分析與求解，合理接軌高等數學與高考命題中的相關知識，巧妙設置.

2 高斯函數

以高等數學中的特殊函數為創新問題背景，如高斯函數、狄利克雷函數、符號函數、特征函數等，結合函數的基本概念、基本性質、創新定義以及創新應用，理解并挖掘函數的實質，是高等數學與高中數學之間的一大橋梁.通過高等數學知識與高中熟悉的函數進行合理類比，拓展提升.

例2(2021屆遼寧省丹東一模)(多選題)函數y=[x]稱為取整函數，也稱高斯函數，其中[x]表示不超過實數x的最大整數，例如[1.2]=1，[-1.2]=-2等，該函數被廣泛應用于數學和計算機等領域.關于函數y=[x]，正確的結論是( ).

A.[-x]=-[x]-1

B.若x1

C.若0≤x<1，則[x]+[x+0.5]=[2x]

D.[x1+x2]≤[x1]+[x2]

分析：根據題目條件中的高斯函數，通過邏輯推理以及不等式的性質，結合取整函數的性質依次加以分類討論，綜合分段函數的性質與應用來判斷相應的結論.

解析：根據題意，依次分析以下選項.

對于選項A，當x=0時，有[-0]=[0]=0，故選項A錯誤.

對于選項B，若x1

對于選項C，設[x]=x-a，[x]+[x+0.5]=[x]+[[x]+a+0.5]=2[x]+[a+0.5].

當a∈[0，0.5)時，a+0.5∈[0.5，1)，則[x]+[x+0.5]=2[x]，[2x]=[2[x]+2a]，由a∈[0，0.5)，得2a∈[0，1)，所以[2x]=[2[x]+2a]=2[x]=[x]+[x+0.5]；

當a∈[0.5，1)時，a+0.5∈[1，1.5)，則[x]+[x+0.5]=2[x]+1，[2x]=[2[x]+2a]，因為a∈[0.5，1)，所以2a∈[1，2)，于是[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+1=[x]+[x+0.5].故選項C正確.

對于選項D，當x1=0.9，x2=0.3時，[x1+x2]=[1.2]=1，[x1]+[x2]=0.故選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：借助高斯函數的創新定義，結合取整性質以及分段函數、不等式的性質等，合理應用邏輯推理與代數運算，通過關系式的變形與轉化，合理接軌高等數學與高考命題中的函數知識，創新應用.

3 函數的凹凸性

函數的凹凸性是高等數學中的重要概念與性質，其主要表現函數值增減的快慢，體現導函數的幾何意義.經常可以利用二階導數來新定義凹凸函數問題.若二階導數在所給定的區間上恒為負值，則說明函數是凸函數，否則函數不是凸函數.

A.f(x)=sinx-cosxB.f(x)=lnx-2x

C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x

分析：根據題目條件中給出的凸函數的創新定義，結合各選項中函數的二次求導以及二階導函數在給定區間上的取值情況，判斷二階導函數值是否恒小于0.可以通過特例確定矛盾，也可以結合函數圖象與性質來分析等.

故選擇：BC.

點評：借助高等數學中函數凹凸性的創新定義，綜合高中數學中一些基本初等函數模型，通過求導運算，綜合函數圖象與性質的應用，挖掘內涵，巧妙處理，實現高等數學與高考命題中基本初等函數之間的鏈接與接軌.

4 不動點定理

不動點定理是高等數學中的一個重要定理，在高中數學中也經常涉及.破解此類與不動點定理有關問題的關鍵點為：一是注意“定義域優先原則”；二是會“分類討論”處理；三是會“化歸與轉化”.

例4設I是函數y=f(x)的定義域，若存在x0∈I，使f(x0)=-x0，則稱x0是f(x)的一個“次不動點”，也稱f(x)在區間I上存在“次不動點”.若函數f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”，則實數a的取值范圍是( ).

A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2)

C.(-1，0)∪(0，1) D.[-1，1]

分析：根據題目條件中“次不動點”的創新定義，將函數問題轉化為方程有解問題，結合函數的構造、導數的應用，利用函數的單調性來分析與處理，進而分類討論確定參數的取值范圍.

解析：因為函數f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”，所以ax3-3x2-x+1=-x在R上有三個解，即ax3-3x2+1=0在R上有三個解.

構造函數g(x)=ax3-3x2+1，則求導可得g′(x)=3ax2-6x.

綜上分析，實數a的取值范圍是(-2，0)∪(0，2).

故選擇答案：A.

點評：借助高等數學中不動點定理的創新定義，在定義域優先背景中研究函數的單調性，借助導數法的應用，合理分類討論，并把函數問題轉化為對應的方程或零點問題來分析與處理，巧妙轉化，建立高等數學與高考命題中函數之間的聯系.

巧妙借助高等數學中的相關知識，結合高中數學中的知識加以合理設置與命題，是高考數學命題者非常青睞的一大方向.合理鏈接高等數學，結合高中數學，挖掘知識內涵，提升知識的深度與廣度，有利于培養學生探究、創新能力，也為高校選拔人才的知識與能力儲備，以及學習方向提供引領與指導，全面提升能力，培養核心素養.