例談極值點偏移問題的處理方略

?安徽省安慶市宿松縣花涼中學 張瓊琴

1 考題呈現

問題(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

2 極值點偏移的判定

定理對于可導函數y=f(x)在區間(a,b)內唯一一個極大值點(或極小值點)x0，且存在x1,x2是函數y=f(x)的兩個零點，其中a

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3 方法總結

通過對判定定理的證明，我們可得出處理極值點偏移問題的基本步驟及方法：

(1)判斷函數f(x)的單調情況并求出其極值點x0.

(2)構造函數g(x)=f(x)-f(2x0-x).

以x1+x2>2x0的情況為例，即x2>2x0-x1，其中a

(3)判斷函數g(x)=f(x)-f(2x0-x)的單調性.

4 考題解答

解析：(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，且f′(x)=1-lnx-1=-lnx.

所以，當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0.

故函數f(x)的遞增區間為(0,1)，遞減區間為(1,+∞).

因為x∈(0,1)時，f(x)=x·(1-lnx)>0，x∈(e,+∞)時，f(x)<0，所以1

圖1

先證x1+x2>2.

若x2≥2，則x1+x2>2必成立.

若x2<2，要證x1+x2>2，即證x1>2-x2，而0<2-x2<1，故即證f(x1)>f(2-x2)，即證f(x2)>f(2-x2)，其中1

設g(x)=f(x)-f(2-x),1

因為10，即g′(x)>0，故g(x)在(1,2)上為增函數.所以g(x)>g(1)=0，故f(x)>f(2-x)，即f(x2)>f(2-x2)成立，因此x1+x2>2成立.

綜上，x1+x2>2成立.

再證x1+x2

因為x2>1，所以1f(e-x1)，而f(x1)=f(x2)，從而只需要證明f(x1)>f(e-x1)即可.

設函數g(x)=f(x)-f(e-x)(0

5 解題反思

總之，高考命題雖然常考常新，但只要我們明確常考類型、透析命題原理、精通相應的處理方法，即可“以不變應萬變”.