對一道高考題的解法研究*

?合肥師范學院數學與統計學院 方 晶 張新全

1 試題呈現

2022年全國高考數學乙卷理科第21題如下：

已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)，(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

該題背景熟悉，題干簡約，問題明確，以對數函數和指數函數為載體，考查了曲線在一點處切線的求法，以及利用導數研究函數零點的方法，對考生綜合運用數學知識解決問題的能力要求較高.作為一道導數及其應用的壓軸題，涵蓋的知識點多且解題思路也多，深入考查了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算和直觀想象等數學核心素養，是一道經典且有新意的試題.

2 解法探究

該題秉承了壓軸題的一貫命題思路，作為導數及其應用的壓軸題，第(1)問的求解較為簡單，考查了曲線在一點處切線方程的求法，為后續解答作鋪墊.第(2)問難度比較大，通過限定零點的范圍求參數的取值范圍，需要綜合運用數形結合、參變分離和分類討論等思想方法，通過函數圖象的交點、函數的零點及其性質和零點轉化為方程的根等思路求解[1].研究該類試題的解法，有助于教師與學生提升解決綜合性問題的能力，并進一步改善教與學.因此，下面我們重點研究第(2)問的解法.

2.1 第(1)問的簡要解答

2.2 第(2)問的解法探究

方法一：仔細觀察函數f(x)，可利用變量分離法研究函數的零點問題.分離后的參變量是關于x的函數，可利用其導數分析函數的性態，以其駐點作為分界點進一步進行討論，求解過程中還利用了極限逼近的思想，最終求得符合條件的a的取值范圍.

圖1

故a的取值范圍為(-∞，-1).

評注：上述解法是較為常見的分離參數法，往往涉及的數學思想比較豐富，比如極限思想、分類思想等.在分離參數求解的過程中，還可以融入數形結合思想，此時可以引導學生通過繪制兩個函數的圖象，先大致判斷a的取值范圍，有助于學生求解其準確范圍，并且二者之間可以相互驗證.該題的求解有助于學生數學抽象、邏輯推理等核心素養的達成.

方法二：利用求導的方式，用單調區間分析推出參數的取值范圍.觀察導函數的特征并探討分界點a=-1，結合函數的單調性，判斷情形一和情形二與題意矛盾，即利用反證法再次縮小范圍，借助零點定理和特殊值法求得縮小后的區間，通過不斷縮小區間，驗證a的取值范圍的合理性.

情形一：若a≥0，則當x>0時，f(x)>0，f(x)在(0,+∞)內無零點，這與f(x)在(0,+∞)內恰有一個零點矛盾，故不可能有a≥0.

情形二：若-1≤a<0，則當x>0時，g(x)>g(0)=1+a≥0，從而f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上單調遞增.所以當x>0時，f(x)>f(0)=0，f(x)在(0,+∞)內無零點.故不可能有-1≤a<0.

圖2

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

評析：我們可以通過導數確定分界點，進而借助其判斷各區間是否滿足題意.這種解法的亮點是通過特殊值來運用零點定理縮小猜想的范圍，通過三次縮小范圍，進而確定f(x)在2個區間內分別恰有一個零點的合理性.同樣，在數學教學中，我們可以引導學生通過取特殊值的方式，大膽猜想結論，這樣解題的難度將會有所減小[2].

方法三：在方法二的基礎上，進一步采用極限思想和逼近思想進行求解.確定參數a的取值范圍問題往往涵蓋了函數值域、求導、極值和單調性等知識點，綜合考查了極限思想，數形結合和分類討論等思想方法，進而求得a的取值范圍.解決這樣一類有難度的數學問題，可以通過高等數學中根的存在性定理、極限的保不等式性、極值分析法和夾逼準則等，以更開闊的視角來解決函數壓軸題[3].

②下面討論f(x)在(0,+∞)內恰有一個零點，因為g(0)=a+1<0，g(1)=1>0，又g(x)在(0,1)內單調遞增，故由零點定理可得，存在唯一的一點x1∈(0,1)，使得g(x1)=0.當x∈(0,x1)時，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x1)<0，當x∈(x1,1)時，g(x)>0，即f′(x)>0.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

評析：這種方法同方法二均采用了求導和分類討論的方式求解，但又區別于方法二，更加強調了對導數f′(x)中g(x)的探討，其中所蘊含的極限思想也更加有利于理解其闡述的含義.因此，也使得思維愈加深入地接近數學問題的本質，而站在更前瞻更高端的數學視角求解函數壓軸題，有助于學生找到解決數學問題的突破口，這既是傳承也是發展，高中數學的課程體系也因此注入了新鮮的活力.

3 教學啟示

3.1 立足教材，重視基礎

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，引導學生把握數學內容的本質[4].壓軸題往往涉及的知識點較多，把握數學問題的核心原理和思想方法，立足于課本教材，將新舊問題串聯起來，那么問題求解的思路就可以本源化，通過解決基于源問題的新改編試題的過程，促進了學生創新能力和應用能力的發展.夯實數學的基礎知識，注重常見的圖象，以及作差、放縮和參變分離等方法的運用，那么壓軸題的解答也不是片面認知中的無中生有而來，而是有跡可循的.

3.2 培養思維，提升能力

壓軸題的命制往往讓人耳目一新，其中蘊含了較為巧妙的構造思路，既可以利用高中的基本知識進行求解，也可以利用高等數學的背景進行分析，掌握各種解法的優化和對比，并將其可取之處滲透在數學課堂教學中，其中包括了數學分析、高等代數等知識均可以有意地融入課堂教學中.同時，跨學科的知識也有助于數學的學習和解題，這樣才能以數學為主線，加強數學與其他學科的聯系，培養高中學生數學綜合應用能力(包含了實踐能力、猜想能力、化歸能力和反思能力等)，從而促進學生數學思維的發展以及數學核心素養的達成.

3.3 感悟思想，注重反思

數學知識承載著思想方法，領悟數學思想，提升核心素養，是數學學習的根本所在.高中數學教學更多地將目光的聚焦從解題訓練與知識講解，轉向關注數學反思，即關注學生學習經驗的積累.另外，數學思想不僅僅只依賴于教師在課堂上的滲透，還需要學生對數學學習的感悟，適當留白可以給學生更多的思考空間.數學解題是“活”的，對于經典的有價值的數學問題，要有批判性的數學思維并養成自主思考的學習習慣，這樣才能促進學生發散思維的提升，實現對壓軸題的有效解決.

3.4 學科融合，注重素養

隨著人工智能、互聯網、大數據等的迅猛發展，數學的研究得到了更大的拓展空間，這對數學與其他學科的融合提出了更高的要求.數學教學不是孤立地只教數學，可以適當地融入其他學科知識形成數學學習的問題鏈，同時，也可滲透數學文化于數學教學中，推動數學的人文和科學價值的發展.因此，基于跨學科的知識背景融入數學問題，學生的數學學習不斷經歷并實現數學的“再創造”，也能將壓軸題的研究意義及價值最大化.