對一道高考題的解法研究*

?合肥師范學院數學與統計學院 方 晶 張新全

1 試題呈現

2022年全國高考數學乙卷理科第21題如下：

已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)，(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

該題背景熟悉，題干簡約，問題明確，以對數函數和指數函數為載體，考查了曲線在一點處切線的求法，以及利用導數研究函數零點的方法，對考生綜合運用數學知識解決問題的能力要求較高.作為一道導數及其應用的壓軸題，涵蓋的知識點多且解題思路也多，深入考查了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算和直觀想象等數學核心素養，是一道經典且有新意的試題.

2 解法探究

該題秉承了壓軸題的一貫命題思路，作為導數及其應用的壓軸題，第(1)問的求解較為簡單，考查了曲線在一點處切線方程的求法，為后續解答作鋪墊.第(2)問難度比較大，通過限定零點的范圍求參數的取值范圍，需要綜合運用數形結合、參變分離和分類討論等思想方法，通過函數圖象的交點、函數的零點及其性質和零點轉化為方程的根等思路求解[1].研究該類試題的解法，有助于教師與學生提升解決綜合性問題的能力，并進一步改善教與學.因此，下面我們重點研究第(2)問的解法.

2.1 第(1)問的簡要解答

2.2 第(2)問的解法探究

方法一：仔細觀察函數f(x)，可利用變量分離法研究函數的零點問題.分離后的參變量是關于x的函數，可利用其導數分析函數的性態，以其駐點作為分界點進一步進行討論……