突破“懂而不會”，提升解題效率

?江蘇省通州高級中學(xué) 邵春燕

在解數(shù)學(xué)題時,學(xué)生通常是概念、定理背得滾瓜爛熟，章節(jié)訓(xùn)練題做得得心應(yīng)手，然而在綜合考試時卻常出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象.究其原因，其很大程度上是學(xué)生在解題時找不到問題的切入點(diǎn)，進(jìn)而感覺無從下手，故很難找到問題的突破口，也就無法成功解決問題.那么，如何找到解題的切入點(diǎn)呢？筆者從以下幾方面進(jìn)行了闡述，供參考！

1 常用解題策略

1.1 回歸定義

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵.然學(xué)生應(yīng)用概念解題時卻顯得格外生疏，其主要原因是學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)僅停留于文字的記憶，對其內(nèi)涵和外延挖掘得較少，使得學(xué)生在解題時往往忽視基本概念，故將解題復(fù)雜化，浪費(fèi)寶貴的解題時間.因此，要提升解題效率，應(yīng)注意定義的回歸.

根據(jù)已知條件變形，找到了滿足等差數(shù)列成立的條件，聯(lián)想等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，問題也就迎刃而解了.另外，高中數(shù)學(xué)知識分為不同的模塊，每個模塊都涉及不同的概念，若將概念進(jìn)行串聯(lián)，往往可以找到各個模塊間的聯(lián)系，進(jìn)而有助于知識體系的建構(gòu)和解題能力的提升.

1.2 應(yīng)用公式

公式套用法是高中數(shù)學(xué)解題的常用方法之一，其往往更加直接、高效.然高中數(shù)學(xué)題型多變，若想應(yīng)用好公式，學(xué)生在記憶公式時也應(yīng)多關(guān)注公式的變形及公式的生成過程，以便在解題時能夠及時捕捉有用信息，利用公式為已知和未知建橋鋪路.

三角公式眾多，如果單憑記憶而不會分析，那么不僅很難發(fā)揮公式法直接、高效的作用，而且容易因公式混淆而出現(xiàn)錯解.因此，在學(xué)習(xí)時要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式的推理過程，讓學(xué)生多理解和掌握常規(guī)公式的變形，進(jìn)而應(yīng)用時可以得心應(yīng)手.

1.3 化繁為簡

化繁為簡顧名思義就是將復(fù)雜問題簡單化，從而使思路更加清晰，步驟更加簡單，求解更加容易，解題更加高效.那么，在簡化的過程中，學(xué)生要善于找到問題的本質(zhì)，切勿被復(fù)雜的表象所嚇倒.很多數(shù)學(xué)問題看似復(fù)雜，然若根據(jù)蛛絲馬跡找準(zhǔn)切入點(diǎn)，問題便會迎刃而解.

例3已知直線l：(2a+1)x+(a+1)y=7a+4，圓C：(x-1)2+(y-2)2=258，求證：不論a取何實(shí)數(shù)，直線l與圓C都有兩個交點(diǎn).

解析：本題如果運(yùn)用代數(shù)法，根據(jù)根的判別式進(jìn)行求解，顯然困難重重，若用幾何法顯然也非常復(fù)雜，因此在解題時需要先從全局出發(fā)，將問題簡單化.由于直線l為含字母參數(shù)a的動直線，動直線是否恒過一定點(diǎn)呢？如果恒過的定點(diǎn)正好為圓C內(nèi)的一點(diǎn)，那么就很容易得出結(jié)論.分析至此，可以將題目轉(zhuǎn)化為“求證直線l恒過圓C內(nèi)的一定點(diǎn)”，顯然轉(zhuǎn)化后題目變得更加簡單明了.

學(xué)生在遇到動點(diǎn)問題或含參問題時，常會出現(xiàn)畏難情緒，此類問題若用常規(guī)方法求解，往往步驟繁瑣，計(jì)算復(fù)雜.因此，解題時需要找到準(zhǔn)確的切入口，將問題化繁為簡.

1.4 化陌生為熟悉

數(shù)學(xué)題目雖然多變，但仔細(xì)推敲大多可以根據(jù)題目特點(diǎn)找到解題的通性通法.對于一些綜合性較強(qiáng)、條件較隱藏的問題，要善于將其轉(zhuǎn)化為典型的、熟悉的數(shù)學(xué)模型.利用典型的、熟悉的數(shù)學(xué)模型求解，更有利于調(diào)動學(xué)生原認(rèn)知，提高解題效率.

例4已知圓的方程為x2+y2=1，點(diǎn)M(x,y)是這個圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時x+y或xy取最大值，并求出此時的最大值.

該問題充分利用了x2+y2=1這一關(guān)鍵信息，進(jìn)而將題目轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要關(guān)注知識點(diǎn)間的聯(lián)系，善于建構(gòu)完整的知識體系，只有這樣才能敏銳地找出問題的切入點(diǎn)，從而通過遷移和轉(zhuǎn)化順利求解.

1.5 逆向推理

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力時，要重視培養(yǎng)其思維的變通性和雙向性.當(dāng)從“正面”求解找不到突破口時，可以嘗試從反面解決；當(dāng)“順勢”推理碰壁時，可以“逆勢”而行；當(dāng)存在太多“可能”時，可以從“不可能”入手，以此找到解題的切入點(diǎn).

解析：本題若從正面求解需要分多種情況，難度較大，故可從反面出發(fā)，逆向思考.從結(jié)論“至少有一個”進(jìn)行分析，若假設(shè)a，b，c都小于1，證明將更加容易，應(yīng)用反證法規(guī)避了分類討論，使得證明思路更加清晰.

1.6 化抽象為具體

抽象的數(shù)學(xué)問題往往會使學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，然很多抽象的數(shù)學(xué)問題大多源于生活，因此，求解題時將抽象的問題具體化、形象化，有助于學(xué)生深入理解題意，進(jìn)而找到問題的切入點(diǎn)，輕松解決問題.

例6集合A和集合B各含12個元素，A∩B含有4個元素.①C?(A∪B)，且C含有3個元素；②C∩A≠?.試求同時滿足①和②兩個條件的集合C的個數(shù).

解析：題目較為抽象，不易于理解，解題時可以將其轉(zhuǎn)化為具體模型.設(shè)某班數(shù)學(xué)競賽組為集合A，物理競賽組為集合B，數(shù)學(xué)和物理競賽組各有12名成員，其中有4人同時參加兩個競賽組(A∩B).現(xiàn)在要從這些學(xué)生中選取3人(集合C)參加年級競賽，按照規(guī)定，3人中至少有1人是數(shù)學(xué)競賽組的成員，求共有多少種選法.

本題顯然是一個集合中的計(jì)數(shù)問題，但是題目較抽象，理解較為困難.為了找到解決問題的切入點(diǎn)，將集合賦予形象化的內(nèi)容，使問題變得更加具體，進(jìn)而通過領(lǐng)悟現(xiàn)實(shí)問題來體驗(yàn)集合中的容斥原理，使問題更加簡單形象，解題思路更加清晰.

2 反思與感悟

學(xué)生常感覺數(shù)學(xué)題目靈活多變，不易求解，其主要有以下兩個原因：一是基礎(chǔ)知識不扎實(shí).部分學(xué)生在學(xué)習(xí)概念、公式、定理時常走馬觀花，感覺只要會解例習(xí)題就是學(xué)會了，對其內(nèi)涵、外延的認(rèn)識不夠，故不能理解其中隱含的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，以致于不能將各知識點(diǎn)相串聯(lián)，對知識的把握過于簡單化、形式化，進(jìn)而影響知識的遷移.因此，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)采取行之有效的方案，如通過背誦、抄寫等形式強(qiáng)化學(xué)生對基礎(chǔ)知識的記憶，同時通過總結(jié)、歸納、反思將各板塊內(nèi)容進(jìn)行梳理，從而形成網(wǎng)絡(luò)，為解題提供知識保障.二是缺乏解題經(jīng)驗(yàn)，找不到解題的切入點(diǎn).部分學(xué)生雖然有著豐富的知識儲備，但其分析能力較弱，解題時不知該從何做起，不能找到解決問題的切入點(diǎn)，為此應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，通過多聽(聽教師講解)、多看(觀察題目特征)、多想(類比、聯(lián)想提升分析能力，總結(jié)歸納積累解題方法)來提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.

教師要重視對學(xué)生雙基的培養(yǎng)，重視解題方法和解題技巧的積累，以培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣和分析能力，進(jìn)而根據(jù)題目的“蛛絲馬跡”，找到解題的切入點(diǎn)，從而提升解題能力.