追尋問題本源 培養關鍵能力
——“雙減”背景下的2022年全國新高考Ⅰ卷數學試題評析

?武漢中學 馮愛龍

?武漢市第十四中學 張 禺

1 引言

2022年全國高考數學新高考Ⅰ卷，作為“雙減”政策落地后的首屆高考試卷，讓很多一線教師和考生都感覺不適應.從試卷難度測評發現，低檔(A)、中檔(B)、高檔(C)題目配比由往年的6∶3∶1，調整為3∶6∶1，中檔題大幅度增加，使得試卷難度結構由過去的“金字塔”型陡變為“紡錘形”，有人認為這是新高考背景下最能有效區分“尖子生”和“疑似尖子生”的難度結構.試卷間接新增對心理素質的考查，數列題作為第一道大題，就讓考生心理有點失衡，直觀感受是第一題就不容易，間接感受就是整套試題風格與以往迥然不同.

試卷命制加強了教考銜接，注重素養立意，優化試題設計，考查關鍵能力，緊扣核心素養，凸出價值導向，注重文化傳承，培養創新思維，具有鮮明的導向性、實用性和選拔性，有助于引導高中教學依標施教，助力基礎教育提質增效，真正落實了“為黨育人、為國育才”的國家未來教育發展戰略.

2 試卷特色

2.1 關注核心素養，考查關鍵能力

例如，第7題難度較大，選拔功能非常好.學生發現平時常用的比較大小的方法不大管用，不是常規方法就能解決的.需要學生冷靜下來，觀察數據，探索事物本質、關聯和規律，從而尋找解題突破口.對學生數據處理、推理論證等素養和能力的要求很高！

A.a

C.c

分析：此題難度等級為C.先構造函數f(x)=ln(1+x)-x，再用導數判斷其單調性，兩兩比較確定a,b,c的大小.

當x∈(-1,0)時，f′(x)>0，f(x)遞增；當x∈(0,+∞)時，f′(x)<0，f(x)遞減.

令h(x)=ex(x2-1)+1，h′(x)=ex(x2+2x-1).

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln 0.9，從而a>c.

綜上，c

點睛：本題考查了數式的大小比較，通過構造函數并利用函數性質來比較.解題關鍵有三點.一是會審題，比較后發現共性；二是巧構造，構造關聯函數，用導數法或初等函數的單調性判斷；三是會放縮，找準比較依據，兩兩比較.新高考卷頻繁出現比較函數值大小、抽象函數等知識與方法，其實就是考查學生構造函數的能力以及數學建模思想.

2.2 凸顯主干知識，考查知識本源

例如，第12題以抽象函數為背景，考查函數的奇偶性、對稱性、導數的概念及它們之間的內在聯系.本題要求考生具備較強的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.又如，第14題的答案不唯一，是一道開放型填空題.如果考生規范地去求解兩圓公切線，計算量大且易錯；如果考生有較好的直觀想象素養，通過精確作圖，不難“看出”答案！所以第14題蘊含了豐富的數學思維，給不同水平的考生提供了不同梯度的思考空間，思維深刻而不失靈活，具有很好的選拔功能，也考查考生的學習習慣與臨場發揮時的心理素質.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

分析：此題難度等級為B.作為多選題的壓軸，根據函數的性質逐項判斷即可得解.

所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，則f(-1)=f(4)，故選項C正確.

不妨設f(x)=1,x∈R，經驗證滿足題意，但f(0)=1，故選項A錯誤.

綜上，正確答案選：BC.

點睛：本題考查了抽象函數的奇偶性、周期性，也涉及到數學三種語言的轉化，是函數奇偶性、抽象函數、導數三者的“橫向集結”，也是培養學生抽象思維和類比思維的落腳點.解題關鍵是轉化題設條件為抽象函數的性質，準確把握原函數與導函數圖象間的關系及函數的性質(必要時結合圖象)即可得解.

題3(新高考Ⅰ卷，14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

圖1

點睛：本題考查了直線與圓、圓與圓相切的相關知識.解題關鍵有三點.一是定位置，利用圓心距與兩圓半徑和、差的關系，判斷兩圓位置關系；二是活用幾何性質，如圓的垂徑定理，在由點到直線的垂線段、半弦與圓半徑組成的特征直角三角形中，由點到直線的距離公式等求切線方程、弦長；三是數形結合，利用圖形的直觀性快速找到解題思路，秒求切線方程x=-1.

2.3 常規題目顯新意，機械刷題難取勝

例如第18題第(2)問，將解三角形中求邊的范圍問題與基本不等式有機結合，靈活且有新意.再如第19題，一道常規的立體幾何題，圍繞體積、面積，考查線線關系、線面關系、點面關系等主要知識點.要求考生從整體出發，綜合運用所學基礎知識解決問題，有利于引導學生減少機械刷題.

分析：此題難度等級為B.利用倍角公式、誘導公式進行恒等變形，根據正弦定理化邊為角，變成三角函數式，利用基本不等式求最值.

點睛：本題考查了倍角公式、誘導公式、正弦定理及基本不等式等知識.解題關鍵有三點.一是要正確分析已知三角等式中的邊角關系，合理選擇“邊化角”還是“角化邊”；二是熟記三角公式與三角變換策略，將目標式子轉化為含有三角的函數式；三是正確使用基本不等式求最值，但需注意正余弦函數的有界性.

圖2

(1)求點A到平面A1BC的距離；

(2)設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：此題難度等級為B.第(1)問由等體積法運算即可得解；第(2)問由面面垂直的性質及判定可得BC⊥平面ABB1A1.建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可得解.

點睛：本題考查了三棱柱的體積公式、點到平面距離的求法和空間法向量的應用.解題關鍵有兩點.一是要注意兩個平面法向量的夾角與對應二面角的平面角間的關系，善于利用幾何體中線線垂直關系建立空間直角坐標系；二是在求二面角的正弦值時，要防止求平面法向量出錯、選用公式出錯和空間中的點線面位置關系弄錯.

2.4 滲透思政德育，關注數學應用

例如第4題，以南水北調工程為素材，考查學生空間想象能力、運算求解能力，滲透了數學抽象、數學建模等核心素養，也引導學生關心國家重大建設成就，增強社會責任感.第20題以疾病與衛生習慣的關系為背景，“以生考熟”，考查獨立性檢驗和條件概率.第20題第(2)問的第(i)問“頗具新意”，考生“望而卻步”，實際上很簡單，僅僅只是條件概率公式的應用，但是對學生的閱讀理解能力、臨場應變能力和基礎知識的熟練度提出了較高要求.

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

分析：此題難度等級為B.根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求解.

3 備考啟示

2023年將是新高考Ⅰ卷使用省份真正全面實施“新課標”“新課程”“新教材”“新高考”(俗稱“四新”工程)的元年，“新課標”就是“新考綱”，主旨要求就是落實“四基”“四能”和六大“核心素養”；教學要求就是要以學生為主體，開展研究型和創新型教學；備考要求就是用高考引領高中教學而不是要高考去適應高中教學.“雙減”政策在新高考中的落地就是要讓教育回歸學生的天性，回到學生成長的本真上.因此，復習備考時，抓住三個關鍵：一是研“標”回“本”明方向，二是點面結合抓落實，三是扎實推進重習慣.

3.1 重視教材，回歸本質

歷年高考題中都會有一些題目來源于對課本題目的改造、延伸與拓展.加強對課本題目的研究，弄清命題者的意圖，深究本質，并且可以嘗試著讓學生改編課本習題，鍛煉思維能力，也不失為一種好的復習方式！例如，本試卷第12題考查的是抽象函數圖象對稱性問題，在新人教A版必修一第87頁的“拓廣探索”里就有介紹.雖然新高考對重點知識的考查難度升級，曾經的冷門知識進入重點考查行列，更加注重創新能力和知識的全面考查，更加凸顯六大核心素養等新趨勢或者新變化，但是新科技(5G的應用、大數據技術和AI技術等)革命也會給高中數學教學帶來一場新變革.因此，備考中教師要更加要求考生打好基礎，學好學科本源性方法，淡化特殊技巧與結論，強調通性通法的靈活應用，用直覺思維代替“機械刷題”形成的模式與套路，用創新題考查知識與方法的快速遷移代替“快餐式”教學產生的押題與磨題.

3.2 重視學考銜接，培養運算推理能力

計算是“童子功”，邏輯推理是“命根子”.教學中多設計學生參與的環節，鼓勵他們成為課堂主角，以部分優異帶動整體氛圍，以學生之口代替教師之口，把課堂變成學生施展才華的空間，而不是教師的“報告會”.2022年高考數學題大家都反映計算量很大，這也體現了高考對數據計算和數據分析能力的要求，幾乎所有的試題都呈現“思維+推理+計算”的三維作戰術.例如第7，8，11，14，15，16，18，21，22等題，對計算能力很弱的同學絕對是“噩夢”.教師要指導學生堅持積累運算技巧，優化算理，提高運算熟練度及準確度，積累運算經驗，用草稿紙的厚度換取計算能力，增強解題邏輯分析能力和計算基本功！

3.3 創新問題呈現方式，盡量“以生考熟”

2022年的數學試卷還發出了一個新的信號，就是過度基于現在的題海去應試，在高考中并不是有效的.我們要倡導怎樣用數學知識、思維與方法去解決一些“活”的問題.這些問題的解決是得分的基本來源.例如第20題，對條件概率的考查，難度不大，但“耳目一新”，學生會在心理上覺得“難”.再如，2021年全國乙卷理科第9題，試題以“《海島算經》中測量海島的高”為背景，在初中數學教材中“測量建筑物的高度”的基礎上進行創新,貫通了初高中知識的銜接與融合,既結合了跨學科知識，又展現了數學之美.所以，平時訓練應當盡量避免枯燥的重復練習，在問題呈現與表達方面多變點花樣，多讓學生感受到“新鮮”感；注意知識運用的“縱向深入”與“橫向聯結”的雙重訓練，使學生在潛移默化中鍛煉關鍵能力.這也是“雙減”政策的應有之義.新高考要出新，首先就是各知識點出題的位置不能固化，但試卷總體結構還是要由易到難，所以帶來了各知識點難度的大循環.這也不失為2022年高考試題命制的創新之處.

總之，在“雙減”背景下，高考數學試題命制反猜題、反套路、反常規會越來越明顯，中檔題試題難度加大、題量增多，都會對考生提出更高要求，這是一種強烈的信號.新課標與新大綱領銜的“整體難度可控，各模塊難度不可控”的出題風格，對六大核心素養的更深層次考查，將會導致新高考命題者放飛自我，題目會更加靈活多變，創新力度加大，今后的高考將會以選拔高質量的創新性人才作為主要目標，用高考來引導高中數學教學，回應“錢學森之問”.