依標施教 聚焦素養 全面發展
——2022年全國乙卷數學試題分析

?中央民族大學附屬中學呼和浩特分校 簡貴有

2022年全國乙卷數學試題是在雙減政策和即將進入新高考的背景下命制的一套試題，試題落實了立德樹人根本任務，突出數學學科特點，對常規教學具有導向作用.高考結束后，筆者對班級的學生進行了訪談，統計、分析了錯題，并讓學生提出了教學建議.下面筆者結合學生的反饋，從試題結構、試題特點、教學啟示三方面進行試題分析.

1 試題結構

1.1 從試題內容上看

從試題內容上看，2022年全國乙卷數學試題呈現出整體穩定，局部有變化，知識面覆蓋廣，主干知識突出的特點.數列與不等式、三角函數、立體幾何、概率統計、解析幾何、函數與導數依然是考查的重點，主干知識占比達到87%.其中，不等式除第23題外沒有單獨命題，主要融合在數列、立體幾何、概率等題中考查.

1.2 從試題排布上看

從試題排布上看，本套試卷整體遵循由易到難、循序漸進的原則，選擇、填空前幾題都比較簡單，后幾道綜合性較強，有一定的難度.大題的順序除數列外與去年基本保持一致.對比2021年，難度上理科試題有了不小的提升，文科試題難度較為平穩.

2 試題特點

2.1 設置多樣情境，發揮育人作用

2022年全國乙卷數學試題設置了多種情境，例如，理科第4題以嫦娥二號衛星在完成探月后繼續深空探測為情境，第10題以實際生活中的下棋比賽為背景，文理科第19題以經過多年的環境治理將荒山改造成綠水青山為背景，考查學生分析解決實際問題的能力，引導實現從“解題”到“解決問題”的轉變，同時在具體情境中，命題也體現了育人的功能.

以上三道情境化試題共計22分，占比14.7%.這三道題即使拋開情境設置，就題目本身而言，也都不簡單，需要學生仔細觀察，冷靜思考，才能找到恰當的解決辦法.第4題題目新穎，學生反饋能讀懂題，但是不會比較大小.第10題部分學生不會處理p1,p2,p3不相等的情況.第19題第二問給出的數據和相關系數公式不匹配，學生沒有時間或不會推導公式，第三問更沒有信心去完成.考生在考試結束后回看第三問，感覺其實能得分，如果把第二問和第三問交換一下位置，這道題的得分率還會提高.

基于此，在今后的教學中，要把知識融合到現實情境中進行教學，以鍛煉學生快速提取關鍵信息的能力.

2.2 落實了高考評價體系的要求

高考評價體系的“一核四層四翼”中明確了高考考查的基礎性、綜合性、應用性和創新性[1].

本套試題注重對基礎知識、基本能力的考查.理科試卷第1，2，3，5，6，7，8，13，14題，文科試卷第1～6題與第9題，突出考查知識的基礎性、全面性.比如第5題考查拋物線的定義，第8題考查數列運算的基本量法.這都是對課本最基本內容的考查.

試題考查基礎性的同時，也很好地體現了綜合性.如，理科試卷第12，16，21題，文科試卷第16，20題考查函數性質、圖象和導數相關知識，要求學生除了具備扎實的基礎知識外還要通過觀察分析、抽象概括、推理運算、探索嘗試才能解決.

另外，綜合性還體現在不同知識板塊的糅合命題上.例如，理科第4題需要數列和不等式的知識；第9題載體是立體幾何，但需要用到導數或不等式才能求解；第10題用到了概率統計和不等式；第11題是解析幾何與三角函數相結合.

2022年乙卷數學試題在情境創設、試題載體、知識融合上很好地體現了創新性，考查學生在面對新問題時的思維品質.有利于選拔創新性人才.

理科第4題就是一道創新性的題目.考試結束后，學生反饋能夠讀懂題，但是不會比較大小，因為用常見的作差法和作商法都沒有辦法解決這個問題.其實，如果考生在考場上能夠冷靜思考，仔細觀察，還是能夠找到解決辦法.下面我們一起來看一下理科第4題：

A.b1

C.b6

方法一：可以通過相鄰兩項分母之間的大小關系來比較相鄰兩項的大小，很容易得到b1>b2，b2b2，b4

本題綜合考查了數列、不等式的基本知識，試題很新穎，需要考生具備較強的心理素質.方法一要求學生要有較好的邏輯推理和數學計算的素養；方法二體現了從特殊到一般的思維過程；方法三通過觀察對比選項中兩項之間的不同點，然后用不等式的性質直接比較大小.這道題從試題情境和解法上都屬于創新題.

這道題考查學生臨場解決問題的能力，與平時刷多少題沒有太大關系.在平時教學中，教師要注重數學思想和方法的滲透，引導學生學會解決問題.

2.3 體現了學科素養

本套試題很好地體現了數學學科的核心素養，讓我們深刻感受到這些素養是可以考查的，幾乎每道題都包含一種或多種素養.2022年的高考數學試題靠機械刷題是拿不到高分的，這引導教師的日常教學要向培養學生能力的方向轉變.例如，理科第9題：

已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為( ).

這道題的難點在于四棱錐的底面是什么形狀不確定，首先要通過邏輯推理得到體積最大的時候底面一定為正方形，才能夠進行下一步的設量和求值.在設量的過程中可以設底面ABCD所在圓的半徑為r，最后轉化成不等式去求解；也可以直接設點O到底面的距離h，列出關系式后，通過求導去解決.

圖1

方法一：設底面所在圓的半徑r，四棱錐的高為h.因為r2+h2=1，所以

本題考查球體內四棱錐體積的最大值問題，與傳統的外接球、內切球模型不同.計算時用到了導數或不等式.要求學生具備直觀想象、邏輯推理與數學運算等素養.

2.4 增加了開放性試題

2020年國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》中提出“穩步推進高考改革，構建引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性”.理科第14題文科第15題就是在這一背景下命制的試題：

過四點(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為.

本題給出4個點，要求任意選取3個點作為條件寫出一個圓的方程，這是一道結論開放性試題，給學生提供了自由選擇的空間.本題難度不大，但是如果學生不注意觀察題中點的位置，容易增加計算量.

學生如果觀察到(0，0)，(4，0)，(4，2)這三個點能構成一個直角三角形(如圖2)，那么就可以直接寫出一個圓的方程，從而減少計算量.解答這道題時，需要學生有一定的直觀想象、數學運算素養.

圖2

2.5 突出數學本質，加強關鍵能力的考查

根據高考評價體系的整體框架，結合《普通高中數學課程標準》提出的學科核心素養，數學學科提煉出五項關鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力[1].

推理是數學的命根子，運算是數學的童子功.數學育人的基本路徑是對學生進行系統地邏輯思維訓練，訓練的基本手段是讓學生進行邏輯推理和數學運算，要在推理的嚴謹性和簡潔性、運算的正確性和算法上的有效性上有要求[2].

2022年全國乙卷數學試題在邏輯推理和數學運算上考查得比較多，6月7日學生走出考場反饋最多的就是數學難、算不完.理科第12，16，20，21題不僅思維難度大，計算量也大.例如，理科第16題：

已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>1,a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

這道題考查極值點、切線和導數的相關知識，用到了分類討論思想，綜合性強，難度大，計算量也大.這道題有以下兩種解法.

方法一：我們可以通過對函數求導，把它轉化成切線問題去處理.

因為f′(x)=2lna·ax-2ex，所以方程lna·ax=ex的兩個根為x1,x2，即函數y=lna·ax與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點，且x10，即y=ex圖象在y=lna·ax下方，a>1的圖象顯然不符合題意，所以0

圖3

方法二：我們可以對函數進行二階求導，通過圖象解決.

這道題的兩種方法，方法一計算量大，思維難度也大，方法二思維難度大，但計算量相對小.這兩種方法都體現了試卷對數學本質和關鍵能力的考查，需要學生具備較強的綜合能力才能應對.

2.6 宏觀大氣，方法靈活

2022年全國乙卷命題宏觀大氣，題目設置靈活，方法多樣.對于同一個題目，不同的學生有不同的認知和理解，他們可以按照自己熟悉擅長的方法得到正確結果.雖然解決路徑不同，但是“歸口”相同.比如，理科第4，7，8，9，10，11，16，18，20，21題都有多種解法.下面以第18題第(2)問為例：

如圖4，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

圖4

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

此題第(1)問(略)，下面看第(2)問的解法.

方法一：可以通過建系的辦法解決.

這道題有兩種不同的解決方法，一種是通過建系的方法去解決，另一種是通過幾何法去解決.不同的學生可以選用不同的方法，體現了試卷命題宏觀大氣、方法多樣的特點.

3 教學啟示

3.1 依標施教，落實素養

高考是教學的一種評價手段，對教學具有良好的導向作用.

2022年的乙卷試題很好地體現了以學生發展為本、落實立德樹人的根本任務.試題兼具基礎性、應用性、綜合性、創新性.通過合理設置情境，啟發學生思考，從而達到引導學生把握數學本質的目的.

這啟示我們課堂教學要緊扣課標，依據課標制定教學目標，設置合理情境，激發學生學習興趣，增設學生活動，促進學生合作探究、深入思考，確保核心素養落地.

3.2 緊扣教材，注重基礎

2022年的高考數學比較難，但是學生成績也不低.原因是學生能夠把基礎題的分數拿到.

這給我們的啟示是：依據課標和學情制定教學目標后要緊扣教材，落實基礎知識和基本技能.在教學中要重視學生對基本概念和基本原理的理解，通過合理的設計讓學生感悟基本思想，積累基本活動經驗.

比如第19題第(2)問，當公式不匹配時，學生束手無策，說明學生沒有理解兩個公式之間的聯系，提醒教師在教學中要重視基本原理、基本公式的推理.

3.3 重視過程評價，及時反饋

合理的教學評價可以及時反饋教學中存在的問題，有利于教師做針對性的改正或補救，幫助學生對知識形成準確的深層次理解.比如，對于理科第10題，個別學生因為不會處理三個概率不相等的情況，導致失分.

教學中不僅要有最后的檢測性評價，也要有過程性評價.課堂上教師要目中有生，時刻關注學生的聽課反應，可以通過觀察、提問、當堂練及時了解學生的掌握程度，便于靈活調節課堂節奏.

3.4 提高運算能力，規范書寫表達

2022年的試卷計算量很大，很多學生不能在規定時間內把自己會的題目都答完，留下了遺憾.

這給我們的啟示是：數學運算的素養一定要在平時培養，不僅要訓練運算的準確性和速度，同時要引導學生優化算法.在數列、解析幾何這兩個板塊的教學中要有意識地培養學生的運算能力.另外，規范書寫表達也要作為一種習慣在平時培養.

2022年的高考數學試題對常規教學起到了很好的引領作用，它要求教師在課堂上立足于落實數學核心素養，重視基礎，培養學生的關鍵能力.教師要由教者變成引導者，在具體情境中引導學生經歷實踐、感悟知識生成的過程，形成解決問題的能力.