“數形結合”解題的實用技巧：“化用”法

?西南大學附屬中學 李 偉

1 引言

“數”與“形”是數學研究的主要對象，在學生的直觀印象中，“數”就是代數，需要計算，“形”就是幾何，需要證明；但實際上，“數”與“形”是你中有我，我中有你，“數”與“形”是可以互相轉化，密不可分的.“數形結合”的思想，就是抓住“數”與“形”之間的這種密切關系[1]，通過“化用”(借用、套用、靈活運用)“數”與“形”之間的某種關系或聯系，快速找到解決問題的突破口.下面通過典型實例的解析，簡述“化用”法在解題中的一些運用方法與技巧.

2 “化用”法在解題中的運用技巧

2.1 化用“兩點間的距離”

提起兩點間的距離，我們馬上會聯想到兩點間的距離公式，靈活化用兩點間的距離公式，不僅能夠輕松求解函數圖象上兩點之間的距離、點的坐標，還能夠幫助我們開闊思路，解決有關圖形、線段的證明，求函數的極值等較復雜的問題.

方法與技巧：證明本題，首先要考慮如何選擇點的坐標，使其滿足題設和待證式的要求.通過觀察不等式的左右兩邊，我們可以聯想“化用”兩點間的距離公式，把待證式看作兩線段之和不小于第三條線段，只需三線段能組成三角形即可.

2.2 化用“拋物線的方程”

對于有些求函數極值的問題，當直接求解有困難時，我們可以根據題目的特點，采用設參數換元的方法來解決.

圖1

2.3 化用“點到直線的距離”

運用點到直線的距離公式，不僅可以把平行線間的距離轉化為點到直線的距離，還可以解決關于求點的坐標、求方程、證明平行線、解三角形、證明線段相等等許多相關問題.

證明：如圖2，設A(a，b)，B(x，y)，O為原點，作OH⊥AB于點H，那么在uOv坐標系中，直線AB的方程為(b-y)u-(a-x)v+ay-bx=0.

圖2

根據點O到AB的距離，可知

上式變形，得(ay-bx)2=|OH|2·[(x-a)2+(y-b)2]，與已知條件中的等式比較，可令|OH|2=c2.顯然，|OH|2≤|OB|2，|OH|2≤|OA|2，所以c2≤x2+y2，c2≤a2+b2.

2.4 化用“平行線間的距離”

化用兩“平行線間的距離處處相等”的性質，可以輕松快捷地解決與直線或平行線相關的計算、證明等問題.

例4已知a，b，x，y∈R，且a+2b+4=0，x+2y+1=0，求證：(a+x)2+(b+y)2≥5.

證明：待證式的左邊可看作是點(a，b)與點(-x，-y)間的距離的平方.已知條件說明點(a，b)在直線l1:x+2y+4=0上，點(-x，-y)在直線l2:x+2y-1=0上，且l1//l2.

顯然，兩平行直線上任意兩點間的距離不小于這兩條平行線間的距離.

故(a+x)2+(b+y)2≥5.

方法與技巧：從本題的證明過程可以看出“化用”的技巧,對形如ab+cd=k的式子，可以將其看作點(a，c)在直線bx+dy=k上，或者根據證明的需要將其看作點(a，d)在直線bx+cy=k上.

2.5 化用“直線的方程”

化用直線的方程或者靈活運用同一條直線的不同形式，可以使恒等式的證明過程變得簡捷明快.

證明：由3sin2α+2sin2β=1變形，得3sin2α-cos 2β=0.又3sin 2α-2sin 2β=0，所以點A(sin2α，cos 2β)，B(sin 2α，2sin 2β)在直線3x-y=0上.

①

方法與技巧：本題巧妙地利用同一直線的兩種不同的表示形式來證明等式，化用嫻熟自然，輕松自如，水到渠成.

2.6 化用“勾股定理”構圖

勾股定理不僅是解直角三角形的一把鑰匙，還可以通過靈活運用勾股定理構圖，把一些較復雜的函數、不等式問題轉化為較簡單的幾何問題來解決.

圖3

故f(a)-f(b)

2.7 化用“正、余弦定理”構圖

正弦定理和余弦定理，是解決與三角形有關問題的重要工具，如果我們能夠對正、余弦定理加以變通、變形、構圖并結合其他知識綜合運用，會使解題過程變得更加簡便、靈活[2].

證明：作如圖4所示的三角形，則

圖4

在△AOB中，根據正弦定理，有

所以AB≥sin 120°·(a+b).

3 總結

從以上典型例題的解析可以看出，數形結合的思想，特別是“化用”法，具有形象直觀、簡捷明快、方法靈活、應用廣泛、實用性強等優點.掌握“化用”技巧的關鍵是要多類比、多聯想、多思考、勤練習；在具體解題過程中，還要確保圖形的完整性、準確性、一般性和存在性.