“數(shù)形結(jié)合”解題的實(shí)用技巧：“化用”法

?西南大學(xué)附屬中學(xué) 李 偉

1 引言

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，在學(xué)生的直觀印象中，“數(shù)”就是代數(shù)，需要計(jì)算，“形”就是幾何，需要證明；但實(shí)際上，“數(shù)”與“形”是你中有我，我中有你，“數(shù)”與“形”是可以互相轉(zhuǎn)化，密不可分的.“數(shù)形結(jié)合”的思想，就是抓住“數(shù)”與“形”之間的這種密切關(guān)系[1]，通過(guò)“化用”(借用、套用、靈活運(yùn)用)“數(shù)”與“形”之間的某種關(guān)系或聯(lián)系，快速找到解決問(wèn)題的突破口.下面通過(guò)典型實(shí)例的解析，簡(jiǎn)述“化用”法在解題中的一些運(yùn)用方法與技巧.

2 “化用”法在解題中的運(yùn)用技巧

2.1 化用“兩點(diǎn)間的距離”

提起兩點(diǎn)間的距離，我們馬上會(huì)聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，靈活化用兩點(diǎn)間的距離公式，不僅能夠輕松求解函數(shù)圖象上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)的坐標(biāo)，還能夠幫助我們開(kāi)闊思路，解決有關(guān)圖形、線段的證明，求函數(shù)的極值等較復(fù)雜的問(wèn)題.

方法與技巧：證明本題，首先要考慮如何選擇點(diǎn)的坐標(biāo)，使其滿足題設(shè)和待證式的要求.通過(guò)觀察不等式的左右兩邊，我們可以聯(lián)想“化用”兩點(diǎn)間的距離公式，把待證式看作兩線段之和不小于第三條線段，只需三線段能組成三角形即可.

2.2 化用“拋物線的方程”

對(duì)于有些求函數(shù)極值的問(wèn)題，當(dāng)直接求解有困難時(shí)，我們可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用設(shè)參數(shù)換元的方法來(lái)解決.

圖1

2.3 化用“點(diǎn)到直線的距離”

運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，不僅可以把平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，還可以解決關(guān)于求點(diǎn)的坐標(biāo)、求方程、證明平行線、解……