高中學生數學應用意識培養的策略研究

?甘肅省平涼市靜寧縣文萃中學 蘇安樂

1 引言

數學應用意識一直貫穿于教學環節中，數學公式、定理、性質和思想方法的學習，是為了解決相應數學問題和實際問題.學生的應用意識是不自覺的、無目的性的，所以要求教師把數學的應用意識和教學環節結合起來穩步推進，并且要結合數學例題將數學思想、數學模型等反復滲透進學生的數學學習、生活中，不斷深化，使學生學會并能熟練應用所學數學知識和思想方法，解決實際生活中和數學相關的問題.

2 應用意識培養的策略

高中階段數學應用意識的培養可以從強化識記、建模轉化、實際應用三個層次入手，經過這三個層次的“反復、滲透、交叉、逐級遞進、螺旋上升、不斷深化，有效地激發學生的應用意識”，達成學以致用的目標.

2.1 強化識記

注重基礎知識的強化記憶，直接套用公式計算或者利用定理進行證明，這是數學應用意識培養的最初階段，也是大部分學生需要掌握應用的初級層次.這個層次要注意公式、定理的識記，強調所適用的范圍、題型以及注意事項；注重應用方法的傳授和解題題眼的解讀.這往往需要大量的訓練來強化應用意識，所謂熟能生巧.

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，F為對角線AC與BD的交點，E為棱PD的中點.

圖1

(Ⅰ)證明：EF∥平面PBC；

(Ⅱ)證明：AC⊥PB.

分析：第(Ⅰ)問直接運用直線與平面平行的判定定理，根據中位線定理可得EF∥PB，故EF∥平面PBC；第(Ⅱ)問通過應用直線與平面垂直的判定定理，證明AC⊥平面PBD，再運用直線與平面垂直的定義可得AC⊥PB.

證明：(Ⅰ)∵四邊形ABCD是正方形，F為對角線AC與BD的交點，

∴F是BD的中點.

又∵E是PD的中點，

∴EF∥PB.

又EF?平面PBC，PB?平面PBC，

∴EF∥平面PBC.

(Ⅱ)∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.

∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴AC⊥PD.

又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，

∴AC⊥平面PBD.

又PB?平面PBD，

∴AC⊥PB.

點評：本題考查了線面平行、線面垂直的判定和性質定理的應用，屬于應用意識的基礎階段，也是高中數學中基礎數學題目簡單、直接的解題方法.

2.2 建模轉化

利用已有的數學知識、方法和數學模型對所遇到的數學問題進行分類建模，培養學生應用數學思想方法，如配方法、換元法、待定系數法、圖解法、方程思想、函數思想、建系坐標法等解決一類數學問題的意識，同時，增強學生的建模應用意識.

例2已知不等式ax2-3x+2<0的解集為{x|1

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2-mx+m-a>0.

分析：例2考查的是一元二次不等式的解集，涉及到“三個二次”之間關系的應用，首先必須建立聯系一元二次不等式與其對應函數圖象及對應方程根之間的模型.

第(1)問根據一元二次不等式的解集和它對應一元二次方程根與系數關系列方程組求解未知參數.

第(2)問在求解含有參數的一元二次不等式時，先要樹立分類討論思想，然后分解怎么分類討論.①根據一元二次不等式對應的方程根的個數進行分類，即分Δ≥0和Δ<0進行討論；②有根的情況下討論兩根大小，最后確定不等式的解集.

解：(1)由ax2-3x+2<0的解集為{x|1

解得a=1，b=2.

(2)由(1)可知，不等式ax2-mx+m-a>0即為x2-mx+m-1>0，則(x-1)[x-(m-1)]>0.

①當m-1=1即m=2時，(x-1)[x-(m-1)]=(x-1)2>0，此時不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}；

②當m-1>1即m>2時，(x-1)[x-(m-1)]>0，此時不等式的解集為{x|x<1，或x>m-1}；

③當m-1<1即m<2時，(x-1)[x-(m-1)]>0，此時不等式的解集為{x|x1}；

綜上，當m=2時，解集為{x|x∈R且x≠1}；

當m>2時，解集為{x|x<1，或x>m-1}；

當m<2時，解集為{x|x1}.

點評：例2屬于中檔題，是對學生一元二次不等式綜合問題的考查.這類題目有一定的難度，但也是高中階段提高數學成績的重要訓練方向.

2.3 實際應用

引入實際問題，通過深入剖析，加工、提煉數據，用數學概念、符號表達事物對象，建立變量之間的明確關系，將實際問題抽象為數學問題，再通過分析數學模型，進行求解，最后闡述實際問題答案.把數學應用意識落到實處，這是數學應用意識培養的最高層次，也是終極目標.

例3第十屆中國花博會在崇明舉辦，其標志建筑——世紀館以“蝶戀花”為設計理念，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度280 m，屋面板只有250 mm，相當于一張2 m長的桌子，其桌面板的厚度不到2 mm.圖1為館建成后的世紀館圖,圖2是建設中的世紀館,圖3是場館的簡化圖.

圖1

圖2

圖3

圖3是由兩個半圓及中間的陰影區域構成的一個軸對稱圖形，AA′//PP′//OO′//BB′，其中AA′=280 m,圓心距OO′=160 m,半徑R=75 m,橢圓中心P與圓心O的距離PO=40 m，C,C′為直線PP′與半圓的交點，∠COB=60°.

(1)設α=∠A′AB，計算sinα的值；

(2)計算∠COP的大小(精確到1°).

分析：例3以實際問題為背景，是要讓學生把所學應用到實際中，從實物模型中抽象出其平面幾何圖形，再建立幾何模型，利用解三角形思維和正弦定理解決該實際問題

(2)由AA′//OO′，知∠O′OB=∠A′AB=α，所以∠PCO=∠COO′=60°-α.

又因為∠P為鈍角，所以∠P≈132.56°，于是∠COP≈24°.

點評：例3考查正弦定理、解三角形在實際生活中的應用，考查了實際情境中的數學建模核心素養，落實了數學思想方法在實際生活中的應用.

3 結束語

生活實際給數學提供了大量的背景材料，教師要引導學生用數學的眼光觀察生活，通過三個層次的反復、滲透、交叉、逐級遞進、螺旋上升、不斷深化，加速學生應用意識的形成.

數學應用意識的培養，可以讓學生在應用中構建數學、理解數學，感受數學給我們的生活帶來的便利和改變，體會數學的實用價值和思維價值，從而增強學習數學的動力，改變學習數學的方式，獲得學習數學、應用數學帶來的幸福感，從而正真實現學以致用.