基于知識建模圖的數學建模素養的應用分析
——以2021年高考題為例

?廣西師范大學數學與統計學院 王素素 張映輝 羅 瑤

1 數學建模與知識建模圖

數學建模素養是促進學生有效進行數學研究性學習的重要因素之一，具有深刻的現實應用性，是數學六大核心素養之一.在數學教學方面，王俊杰[1]和吳幼林[2]均指出數學建模是搭建數學與生活的關鍵性橋梁，數學建模素養可以提升學生的探究能力和創新能力，進而對學生數學核心素養的培養與發展有深刻的影響和意義.在數學學習方面，何江[3]認為數學建模題目可以激發學生的想象力，有效地培養學生嚴密的數學邏輯思維，在數學建模的過程中提高學生的綜合能力；唐費穎[4]指出數學建模實踐活動可以增強學生學習主動性，并推動學生在建模體驗中感悟與反思，不斷累積解決生活中數學問題的經驗.在數學評價方面，蘭小銀[5]提出對學生數學建模素養的評價須要改進教學活動中評價工具和評判標準，在試題的難度和背景等方面要進一步加強高考數學建模試題的有效性，鞏固高考對數學建模素養的測驗功能.因此，從2021年數學高考題中深入探究其數學建模相關題目將會對數學教學、學習與評價具有很大的指導意義.但以往的文章大都是直接從題目入手，簡單抽離出題目所蘊含的重要概念，進行題目的常規分析與解答，缺乏對題目隱含的數學建模素養進行深度解析.

知識建模圖是依據特有的標準，用不同的圖形符號表示各個類型的知識點，并使用特定規范的語言描述各個類型知識點之間的關系，從而將知識體系的結構直觀明了地表現出來[6].本研究利用知識建模圖，構建高考數學建模試題隱含的知識脈絡與框架，引導教師在課堂教學中利用知識建模圖將數學知識串聯與歸類，在課堂中形成研究性學習氛圍，推動學生從知識建模圖中培養數學建模核心素養.

2 建構知識建模圖的2021年高考題分析

從課程標準對數學建模的定義出發，解析2021年的數學高考卷總共8套10份試卷(全國甲卷文理、全國乙卷文理、新高考Ⅰ卷)，數學建模類的題目總共只有22道題(包含選修題)，占比7.67%，大多是在概率統計題目中有所涉及.所占比例比較小的數學建模類高考題，表現出明顯的題目難度較小、區分度不高的特征.越是難的題目越不容易披上“現實應用”的外衣.如何促進數學建模類高考題的改革與發展是一個持續性的教學發展問題.

本研究將從函數、幾何、概率三個方面構建例題的知識建模圖，并依據知識建模圖的輸出結果進行例題的思路分析.知識建模圖用六種圖形分別表示不同的知識類型：第一種是用表示知識的概念與定義；第二種是用表示知識的原理及格式；第三種是用表示知識連接的過程和方法；第四種是用表示學習過程中的認知策略；第五種是用表示題目外顯的事實范例；第六種是用表示題目隱含的價值觀.不同的知識點之間定義了十種關系：(1)包含；(2)構成、組成；(3)是一種；(4)具有屬性；(5)具有特征；(6)定義；(7)并列；(8)是前提；(9)是工具；(10)支持[7].將高考應用題按照知識點再分類，依據類別分別對所選例題進行知識建模圖的構建，有利于培養學生“依題構圖，用圖解題”的解題習慣，促進學生數學建模素養的形成與發展.

2.1 緊抓函數主線，解答數學建模問題

函數是高中數學最基礎的數學概念，貫穿高中數學學習的整個過程之中.以函數為主線的數學建模試題，具有清晰的數學關系和嚴密的解題步驟.數學建模試題中隱含的函數概念，需要學生進行簡單的梳理和歸類，從而針對性地對函數類的數學建模題進行建模與解答.

例1[2021年高考數學上海卷(夏季)第19題]已知某企業今年(2021年)第一季度的營業額為1.1億元，以后每個季度(一年有四個季度)營業額都比前一季度多0.05億元，該企業第一季度利潤為0.16億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長4%.

(1)求2021第一季度起20季度的營業額總和；

(2)問哪一年哪個季度的利潤首次超過該季度營業額的18%？

圖1 “企業季度營業額和利潤”知識建模圖

2.2 以立體幾何為模型，轉換條件進行解題

立體幾何題目對學生的空間想象能力具有較高的要求，但數學建模試題通常會對模型進行簡要的文字描述，使題目難度降低.學生只需對立體幾何類題目進行條件轉換，以繁化簡，輸出所學知識點即可解答該類題目.

例2(2021年高考數學北京卷第8題)定義：氣象學中24小時內降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖2，則這天降雨屬于哪個等級( ).

圖2

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨

圖3 “降雨積水厚度”知識建模圖

2.3 巧用時事政治，理解概率統計相關知識

以時事政治為背景的數學建模試題通常是概率統計類題目，其中排列組合是此類題的難點.學生需對題目進行剖析，準確定位題目所屬的概率問題，對排列的不同情況進行分類討論，凸顯學生解題的細心與耐心.

例3[2021年高考數學上海卷(夏季)第10題]甲、乙兩人在花博會的A,B,C,D不同展館中各選2個去參觀，則兩人選擇中恰有一個館相同的概率為.

圖4 “花博會參觀選館”知識建模圖

3 教學建議

2021年的數學高考題仍舊以應試題目為主，數學建模類考題占比很低，且題目難度為中等，試題可抽象出簡單的函數或公式問題，對培養學生的數學核心素養具有一定的指導意義.問題是數學的心臟，但是數學問題來源于生活實踐.離開生活實踐、缺少數學建模的試題難以培養學生多元化的探究思維能力和創新實踐能力.當今教育改革大力倡導素質教育，著重培養學生的實踐能力和創新能力，數學高考題需從數量、講解、應用性的角度培養學生的數學建模素養，加強學生在生活中應用數學的能力.基于此，筆者提出以下三點建議.

3.1 適當增大數學建模類高考試題的數量

高考試題的內容和類型很大程度上影響著教師在課堂中教授的知識內容.2021年全國各個地區的高考題從實時政治、生活情境中間接考查學生的理性思維，符合新課標的要求.但是數學建模類高考試題的數量偏少，使得學生把數學學習的重心轉向盲目刷題、死記硬背上.數學建模試題考查學生“用數學”的基本能力，需要學生具有較強的邏輯思維.因此，只有提高高考數學建模試題的數量，才能使學生轉變“應試”思維，加強數學建模素養的培養.

3.2 注重數學建模類例題的講解

“雙減”政策的提出與實施，為數學課堂注入了新的活力與動力.義務教育“減負”之余，提高了學生的成才質量，同時對其核心素養的要求也會不斷提高.教師要注重對學生研究性學習習慣的培養，從例題中解讀數學問題的一般化，并推廣至同一個類型的題目，以此培養學生探究問題、研究實例、創新方法的能力[8].因此在基礎教育階段，教師在講解建模類例題時，可以充分運用知識建模圖，在建構的過程中培養學生的數學建模素養.

3.3 促進生活中的數學與課堂中的數學有機結合

目前大多數人對數學建模題產生了誤解，即認為數學建模題目解答的過程與數學應用題的求解過程是一模一樣的[9]，其實不然.數學建模題側重于用嚴密的數學工具去解決生活中的現實問題，并非簡單的求解數學應用題.在數學教學過程中，唯有將生活中的數學與課堂中的數學良好地結合在一起，學生在數學學習與探究中才會感受到數學的美與趣.這便要求教師在教學過程中要注重“五化”策略——背景化、探究化、經驗化、遷移化、直覺化的實施[10].通過“五化”策略構建知識建模圖，展現系統的知識結構與框架，提高學生探究數學問題的能力，促進學生形成有深度的數學建模素養.