教材中一道經典拋物線問題的賞析

?昆山市柏廬高級中學 王會平

教材上的例、習題大多是經典的好題，凝聚了教材編寫專家的心血和智慧，有著豐富的內涵和可拓展的外延，它對教學的影響是深刻的.充分理解這部分的例、習題，研究其解法以及其在教材中所呈現的價值，對學生后續的學習和教師進一步的教學也是很有意義的.好題如歌，讓人樂不思蜀；好題如詩，令人回味無窮；好題如工藝品，叫人愛不釋手；好解又如畫筆，猶有畫龍點睛之功效.下面結合教材中一道拋物線習題，進行解法分析，與讀者共賞.

1 題目呈現

如圖1，M是拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊，FM為終邊的∠xFM=60°，求|FM|.

圖1

2 解法欣賞

2.1 雅俗共賞、似曾相識

方程兩邊平方，整理得3x2-10x+3=0.

故|FM|=2|FA|=2(x2-1)=2(3-1)=4.

以上兩種解法為解析法，只需求M，F兩點的坐標，再求出距離即可，目標明確，易于操作，有似曾相識之感.

2.2 構思巧妙、超凡脫俗

解法三：拋物線y2=4x的焦點F(1,0)，準線l：x=-1,l交x軸于點B,過點M作MQ⊥l，垂足為Q，過點F作FH⊥MQ于點H，如圖2.

圖2

由|MF|=|MQ|，∠QMF=∠xFM=60°，可知△MFQ為正三角形.

故|FM|=|MQ|=2|QH|=2|BF|=4.

該解法立意新穎，一反常規求兩點間距離的方法，而是根據圖形特征所呈現出題目的條件及其數量之間的關系，尋找解決問題的捷徑，把數學中的合情推理和邏輯推理有機結合在一起，用平面幾何的方法求解問題，思路簡潔，構思巧妙、超凡脫俗.

2.3 舊貌新顏、煥發青春

由M是拋物線y2=4x上一點，可得

故|FM|=4.

該解法并非直接通過求點M，F的坐標來求|FM|，而是成功地改造了點M.通過逆向思維，假設|FM|為a，利用直角三角形中邊角的數量關系，獲得點M的坐標，再利用點M在拋物線y2=4x上求解a，舊貌新顏、煥發青春，簡潔而又直觀.

2.4 思維發散、力度頗深

解法五：由題意知點M在第一象限，設點M坐標為(m,n)，其中n>0.

由拋物線的方程為y2=4x，得其焦點F的坐標為(1,0)，準線方程為x=-1.

所以，由拋物線定義，可知|FM|=m+1.

過點M作MA垂直x軸于點A，則|FA|=m-1.

解得m=3.

故|FM|=m+1=4.

該解法對數學思維能力的要求比較高，具有一定的發散性，要求對拋物線的定義、幾何圖形的性質透徹理解，恰當運用，解題能力可謂深入淺出，力度頗深.

3 類比探究

3.1 同題異構、推陳出新

圖3

3.2 以靜制動、量質飛躍

圖4

3.3 巧變多考、匠心獨創

(Ⅰ)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

分析：該題雖然仍是直線與拋物線相交的問題，但是題目卻巧妙地與二次函數、一次函數接軌，既考查了函數與導數的問題，也考查了直線與拋物線的問題，是一次成功的變式.前面例2考查的是直線平移變換，而本題考查的卻是斜率的變化，的確是巧變多考、匠心獨創.

對于第(Ⅱ)問，先作出判定，再利用設而不求的思想進行求解.將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關于x的一元二次方程，設出點M,N的坐標和點P的坐標，利用設而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用參數a表示出來，再利用直線PM，PN的斜率之和為0，即可求出a,b的一個關系，從而找出適合條件的點P坐標(0，-a).本題有效考查了拋物線的切線、直線與拋物線的位置關系等知識，同時也對學生探索新問題以及運算求解能力進行了考查.

總之，通過一個對問題深入、多層次的研究，我們能從經典題的解法和隨之而來的問題生成中感受到數學的奧妙，同時也從解法的生成性研究中找到教與學的樂趣.以上三個例題是對拋物線生成性問題的類比研究，通過知識的類比探究，由低向高，逐層提升.