滲透數學文化，創新情境命題

?江蘇省啟東中學 彭劍平

數學文化類試題是新高考數學試卷中命題的熱點之一.數學文化是國家文化素質教育的重要組成部分，其內涵是在實踐過程中不斷探索形成的數學史、數學精神及其應用等.對數學文化的考查主要借助數學名著、數學故事以及數學名題等視角來創新設置，通過對數學文化的滲透，有效增強考生的理性思維與應用意識，培養愛國主義情懷.

1 數學名著

通過中國古代數學名著或世界數學名著等滲透數學文化，如我國古代的《數書九章》《張丘建算經》《孫子算經》等.

例1(2022年山東省濰坊市高考數學三模試卷)我國古代數學名著《九章算術》中給出了很多立體幾何的結論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐.若一個“鱉臑”的所有頂點都在球O的球面上，且該“鱉臑”的高為2，底面是腰長為2的等腰直角三角形.則球O的表面積為( ).

分析：根據題目條件，作出圖形，設在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，證明出該三棱錐的四個面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結合球體表面積公式可得結果.

解析：如圖1所示，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2.

圖1

因為AB⊥平面BCD，BC，BD，CD?平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AB.

又CD⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC?平面ABC，所以CD⊥平面ABC.

因為AC?平面ABC，所以AC⊥CD.

例2意大利數學家斐波那契的《算盤全書》中記載了一個有趣的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子(一雄一雌)，不考慮其他因素，而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子.在特殊情況下，假定兔子都不發生死亡，那么由1對初生的小兔子開始，50個月后總共會有多少對兔子？

根據以上記載，從第1個月開始，以后每個月的兔子總對數依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，這個數列就是著名的“斐波那契數列”，它的遞推公式是an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若從該數列的前100項中隨機抽取一個數，則這個數是偶數的概率為( ).

分析：根據斐波那契數列中項的分布規律以及遞推公式加以歸納總結，確定每相鄰3個數中有1個偶數，進而得到該數列的前100項中有33個偶數，利用古典概型的概率公式求解.

點評：涉及數學名著中的數學文化創新試題，關鍵是理解數學名著中對應創新情境的敘述與表達，綜合題目所要求解的結論加以對比分析，構建相應的數學模型，利用相關的數學知識、思想方法來分析與解決相關的數學文化問題.

2 數學故事

通過數學家或數學故事滲透數學文化，如開普勒、畢達哥拉斯、斐波那契、希波克拉底、陳景潤、黎曼等.

分析：根據題目條件，借助數學思想方法中的無限與有限的轉化，通過無限根式的定值求解方法的應用與類比，轉化為無限分式的定值求解，通過構建方程、解方程來確定無限分式的定值.

例4(湖南省三湘名校教育聯盟2022屆高三第二次大聯考數學試卷·7)公元前5世紀，畢達哥拉斯學派利用頂角為36°的等腰三角形研究黃金分割，如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線交AC于M，依此圖形可求得cos 36°=( ).

圖2

分析：利用等腰三角形的性質、三角形邊與角之間的關系、三角形相似的判定與性質、一元二次方程的解、正弦定理以及二倍角公式等的綜合，合理轉化，巧妙應用.

解析：由∠A=36°，可得∠ABC=∠ACB=72°.所以∠ACB=∠BMC=72°，∠MBC=∠MBA=∠A=36°.

設AB=x，BC=y=BM=AM.

點評：涉及數學故事中的數學文化創新試題，關鍵是理解故事情境以及問題的設置情況，借助數學故事或問題表達中的思想方法、思路技巧等加以歸納、類比等推理與分析，結合數學運算、邏輯推理的綜合應用，達到解決數學文化問題的目的.

3 數學名題

通過數學名題滲透數學文化，如勾股定理、阿波羅尼斯圓、哥德巴赫猜想、費馬猜想或費馬點等.

例5“哥德巴赫猜想”被譽為數學皇冠上的一顆明珠，是數學界尚未解決的三大難題之一，其內容是：“任意一個大于2的偶數都可以寫成兩個素數(質數)之和.”若我們將12拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，在加數都大于3的條件下，兩個加數均為素數的概率是( ).

分析：根據題目條件，在對12進行拆分時，羅列出所有加數都大于3以及兩加數均為素數的拆分，進而利用古典概型的概率公式求解.

解析：將12拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，加數都大于3的所有拆分為12=4+8，12=8+4，12=5+7，12=7+5，12=6+6，共計5個；而兩個加數均為素數的拆分為12=7+5，12=5+7，共2個.

(1)若m=13，則使得an=1至少需要步雹程；

(2)若a9=1，則m所有可能取值的和為.

分析：根據創新定義，借助相應的步驟加以運算與推理，通過逐步計算即可求解.

解析：(1)若m=13，依題意，得3m+1=40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需9個雹程.

(2)若a9=1，則a8=2，a7=4，a6=8或a6=1.

若a6=8,則

所以，a1的集合為{256，42，40，6，32，5，4}，m的和為385.

故答案為：9；385.

點評：涉及數學名題中的數學文化創新試題，關鍵是理解此類數學名題的內容，掌握其內涵與實質，結合題目條件構建合理的數學模型，綜合相關的數學知識、思想方法等進行解決.

合理關注一些古今中外的數學名著、數學故事以及數學名題等，巧妙融入相關的數學知識，通過對數學文化加以創新與滲透，提升考生的應用意識與創新意識等，進一步拓展視野，提升數學能力，養成優良品質.