巧用齊次化，解決一類圓錐曲線問題

?廣東省中山市第一中學 高 建

解析幾何一直是高考必考的內(nèi)容，尤其是涉及到定點、定值的問題，經(jīng)常在高考題中出現(xiàn)，其中一類題目常常以斜率之和或者之積是定值為背景，即過一定點引兩條直線與圓錐曲線相交，引出兩個斜率的關(guān)系，通過斜率之間關(guān)系找到解決問題的方向.其經(jīng)典方法就是設直線方程，然后通過與圓錐曲線方程聯(lián)立，整理得出一元二次方程；設點寫出斜率關(guān)系式，利用韋達定理，求解出相應的斜率.這種方法并不是很難，但是計算量相對較大，使得很多學生望而卻步.本文中通過對比通法和齊次化方法在解決圓錐曲線的定值、定點問題中的應用，讓學生了解齊次化方法的優(yōu)點，進而培養(yǎng)學生一題多解的能力，提升學習圓錐曲線的樂趣.

1 齊次化解決與角度有關(guān)問題

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：本題考查的問題，就是過定點作兩條直線形成的斜率問題.主要難點是把角度問題轉(zhuǎn)變成斜率.原答案使用的是設方程聯(lián)立的方法，然后設而不求，利用韋達定理解決問題，難度不大.第(1)問比較簡單，第(2)問，我們對比通法和齊次化方法的優(yōu)劣.

解析：(1)第(1)小問，常規(guī)思路，過程略.

(2)方法一：首先把角度問題轉(zhuǎn)化成斜率問題.

當直線l斜率不存在時，顯然命題成立.

2 齊次化解決斜率之積為定值問題

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l不經(jīng)過P點且與橢圓C相交于A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之積為1，證明：直線l過定點.

分析：本題第(2)問考查圓錐曲線中的定點問題，經(jīng)典方法是設出直線方程，進行聯(lián)立，得到一元二次方程，再把兩個斜率都表示出來，利用韋達定理表示出斜率與截距的關(guān)系，進而找到定點.這個通法思路簡單，易于學生掌握，但是運算量太大，個別同類型題目還涉及到比較復雜的因式分解問題，可能會給學生造成一定的影響，我們看下齊次化的方法會不會有更好的效果.

本題的背景就是兩個斜率之積為定值，對比上述兩種方法，我們不難發(fā)現(xiàn)齊次化方法的優(yōu)勢，但是這里需要拓展平移后的圓錐曲線方程，也要注意最后的結(jié)果是不是平移回去了.

3 齊次化解決雙斜率問題

例3如圖1，過頂點在原點、對稱軸為y軸的拋物線E上的點A(2,1)作斜率分別為k1，k2的直線，分別交拋物線E于B，C兩點.

圖1

(1)求拋物線E的標準方程和準線方程；

(2)若k1+k2=k1k2，證明：直線BC恒過定點.

分析：本題第(2)問考查與拋物線有關(guān)的直線斜率問題，通法還是通聯(lián)立方程，但必須面臨利用k1+k2=k1k2表示出相關(guān)量，然后再化簡，運算量不算小.下面我們看下齊次化的威力.

解析：(1)易知拋物線方程為x2=4y，準線方程為y=-1.過程略.

4 齊次化解決斜率之和為定值問題

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

分析：此題為高考題中的定點問題，依然是雙斜率問題，可以使用齊次化的方法解決.

本題的背景就是斜率之和為定值，求直線過定點的問題，對比之下我們可以輕易發(fā)現(xiàn)齊次化方法的優(yōu)點.

5 方法歸納

解析幾何是培養(yǎng)學生計算能力的重要載體，蘊含著豐富的數(shù)學思想.本文中提到的齊次化方法，在一定程度上可以起到簡化運算的效果，讓學生深刻體會解析幾何的魅力.通過齊次化方法的學習，學生學會了處理斜率之和為定值、斜率之積為定值問題的另一種解法，提高了解題效率，也讓學生明白數(shù)學方法的多樣性.但遺憾的是，有些問題使用齊次化方法，計算量并不會減少，甚至更為復雜，對于常規(guī)的解析幾何問題，齊次化方法也不一定能起到很好的作用，所以在教學中我們更應該重視基礎(chǔ)知識和通法通解的學習.