對2022年上海高考數學第20題的思考

?上海市七寶中學 李佳偉 李 霞 管恩臣

1 前言

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，是高中數學的重點、難點，也是高考命題的熱點之一.根據考綱的要求，理科對橢圓、拋物線的概念、標準方程、幾何性質的要求屬于掌握的內容，對雙曲線是了解的內容；文科只對橢圓是掌握的內容，對雙曲線、拋物線是了解的內容.縱觀福建近幾年的高考也可以看出這一點，橢圓是高考必考的內容，其次是拋物線，考得最少的是雙曲線.其中，最值問題可以涉及中學數學各個內容的方方面面，它在高考中的地位十分突出.最值問題可以以各種知識作為背景進行考查,涉及高中數學主干知識與方法,要求考生有扎實的數學基本功及良好的數學思維能力.由此可以理解有關橢圓的最值問題在高考中的重要地位.而橢圓的參數方程因為其特點，可以把圓錐曲線的最值問題中復雜的計算轉化成三角函數最值問題，從而可以大大減少計算過程和強度，是解決橢圓最值問題一個很重要且很巧妙的手段.下面筆者結合2022年上海高考數學第20題，分析參數方程在最值問題中的巧妙應用.

2 試題呈現與分析解答

圖1

(1)若a=2，AM的中點在軸上，求點M的坐標；

(3)若Γ上存在點P到直線l的距離為d，且滿足d+|PF1|+|PF2|=6，當a變化時，求d的最小值.

分析：本題第(2)問利用直角三角形中三角比的定義能夠得到a與b的關系，從而求出b的值；第(3)問的難點在于如何選參數，主要有以下幾種途徑.①構建點P含參數的軌跡方程；②設點P含參數的坐標；③設直線l′含參數的方程.

第(3)問的思維導圖如圖2所示.

圖2

試題解答：

(1)由題意,得c2=2，b2=2.

另外，本題第(3)問還有如下兩種解法.

設P(acosθ,bsinθ)，則

解法二：(設直線l′含參數的方程)當橢圓Γ在點P處的切線l′與直線l平行時，點P到直線l的距離d最大或最小，設此時切線l′方程為x+y+m=0.

2(a2-1)x2+2a2mx+a2(m2-a2+2)=0.

由Δ=0，得m2=2(a2-1).

從以上的解答過程可以看到，利用參數法求解，其計算量遠遠小于常規方法的計算量，從而提高答題的正確率.因此，在解決相關橢圓的最值問題時，可以優先考慮參數法.

3 試題延伸與推廣

解：如圖3，設橢圓Γ的右焦點為P(2,0)，點M在橢圓Γ的內部，直線MP與橢圓Γ交于A,B兩點，則由橢圓定義可得|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|.

圖3

由三角形的性質,得

-|MP|≤|NM|-|NP|≤|MP|.

點評：變式2直接運用代數法難度較大，考慮到F是橢圓的左焦點，聯想橢圓的定義，設右焦點為P，得到|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|，然后再利用三角形的性質解決，體現了借助橢圓定義與平面幾何知識解題的特點.

圖4

解：由題意，得直線AM的方程為x-2y+4=0.

設直線PQ的方程為x-2y+t=0，與橢圓Γ的方程聯立，可得4x2+2tx+t2-48=0.

由Δ=4t2-16(t2-48)>0，得-8

點評：先借助弦長公式、兩條平行線間的距離公式、勾股定理等求出|QN|2，然后再運用二次函數的性質求解，體現了函數思想.

圖5

又A(-4,0)，所以直線AP的方程為

設B為直線x=-6與x軸的交點，則

點評：變式4屬于多動點問題，由于P，Q兩點的運動引起了點M，N的運動，因此將P設為主動點，以其坐標為參變量表示出S△APQ+S△AMN，最后借助基本不等式求得最值，體現了基本不等式的工具作用.

通過以上問題的解決，可以得到求解這類最值的兩種常用思路：①從圖形入手，借助橢圓的定義、三角形的性質等平面幾何知識來分析；②選定參變量，表示出所求的幾何(或代數)量，然后根據解析式的特點，借助導數、基本不等式、函數與三角函數的性質等知識來處理.