基于四元數的軸承載荷分布求解方法

孫芳斌，程紅梁，凌維安

（1.南京航空航天大學，南京 210016；2.博世華域轉向系統有限公司南京分公司，南京 210033）

軸承的載荷分布主要研究軸承變形與承載能力的關系，其中變形主要為滾動體接觸變形及由此產生的內外圈相對變形，承載能力則是滾動體受載、軸承整體外載荷等[1]。軸承載荷分布直接關系著軸承的疲勞性能，只有確定了載荷分布才能夠研究一些軸承的性能參數，如剛度、變形和接觸應力等[2]。由于有限元的發展，軸承接觸變形、接觸應力可以通過商業軟件很好地求解[3]，載荷分布求解十分容易；但有限元計算前處理耗時較多，理論方法仍是不可或缺的。

經典的低速軸承載荷分布求解基于赫茲接觸理論得到滾珠——滾道擠壓變形和壓力的函數關系，通過軸承內外圈相對變形來描述滾珠擠壓[4-7]。但涉及軸承內外鋼圈的相對傾轉，普遍做法是在某一平面內對轉動分解到擠壓接觸點上，例如路春雨等[8]研究的四點接觸高速軸承的力學模型，陳龍等[9]研究的四點接觸球轉盤軸承力學模型等。實際上除了軸承，其他的回轉件如滾珠絲杠副也采用將傾轉變形通過復雜的三角函數變換到接觸點上去，求解滾珠的擠壓變形量[10-11]。此類方法思路直觀，但推導過程復雜，使用起來并不方便。四元數作為一種可以描述向量空間旋轉的工具常被用于計算機幾何圖形學中[12-13]，其矩陣形式使用更是方便。周江華等[14]對四元數在剛體姿態仿真中的應用進行了分析。王思鵬等[15]應用四元數描述無人機姿態，實現了慣性測量單元信息與單目視覺信息融合以及無人機位姿態修正。董貴榮等[16]則是基于四元數實現復雜障礙物場景下對機器人位姿的精確控制，簡化工業機器人逆運動學的求解過程。

為簡化傾轉變形的處理，本文將四元數應用于角接觸球軸承相對變形中的傾轉部分的描述，通過滾道圓弧曲率中心參數曲線的剛體位移量推導滾珠擠壓變形，基于牛頓-拉夫遜方法求解滾珠載荷分布。算法可以輕易實現對各類球軸承的拓展，且對各種復合外載荷都能有效求解載荷分布。

1 載荷分布模型

1.1 四元數簡介

四元數由1 個實數單位和3 個虛數單位組成，任意四元數可以寫作如下形式

其中虛數單位滿足

四元數也可以根據實部和虛部寫作

對于一個四元數q，它的共軛四元數記為q*

如果一個四元數實部為0，則稱這個四元數為純四元數。對于一個空間向量v1，可以表示為純四元數v1=[0，v1]。四元數運算可以表示向量的空間旋轉，假設空間向量v1繞單位向量u 右手坐標方向旋轉了θ 度后變為v2，對應的四元數v1經旋轉后表示為v2，則對應的四元數運算可表示為

式中：v2=[0，v2]，旋轉后仍是純四元數。q 為對應旋轉方向的單位四元數，q*為q 的共軛，此時q 計算式為

上述關系對應四元數的計算，在實際使用中為方便起見一般使用其矩陣形式，令

式中：θ 為繞單位向量u 轉動的角度，[ux，uy，uz]T為單位向量u 的3 個方向的分量。則轉動矩陣可表示為

對應向量旋轉空間轉動可以表示為

如圖1 所示，空間轉動對應的四元數不是唯一的，對于任意向量，繞u 方向旋轉θ 角和繞-u 方向旋轉2π-θ 角所進行的變換是完全一致的。

圖1 向量旋轉示意

1.2 接觸變形求載荷分布

角接觸球軸承由于接觸角非零，相比深溝球軸承可以承受更復雜的外載荷，包括軸向力、徑向力、傾覆力矩及上述的復合等?，F對軸承分析做出如下假設：①滾珠與滾道的接觸變形處于彈性范圍內，滿足赫茲接觸假設；②變形前后兩側滾道的曲率中心與滾珠中心總是位于同一直線上（軸承轉速處于低速情況）；③忽略滾珠滾道間摩擦力。基于以上假設，變形可以簡化為內外圈滾道之間的相對變形，在分析時一般假設軸承外圈固定、內圈相對外圈有相對位移。

對于無外載荷時的理想滾珠運動運動路徑曲線定義為L0，L0的參數曲線表達式

式中：R0表示軸承的節圓半徑，將節圓定義在xoy 平面后，滾道圓心（曲梁中心）曲線偏離xoy 平面。滾珠半徑為rb，外滾道半徑為re，內圈滾道半徑為ri，設計接觸角為β0。

式中：R1為外圈滾道參數圓曲線的半徑，R2為內圈滾道參數圓曲線的半徑。

四點角接觸球軸承的外圈滾道對應的2 條圓心參數曲線

四點角接觸球軸承的內圈滾道對應的兩條圓心參數曲線

對于四點接觸球軸承，內圈和外圈各有2 條參數曲線，上標in/out 表明內外圈，下標L/R 表明參數曲線對應滾道小圓弧指向圓心的左右，而非參數曲線本身相對的左右位置。四點接觸球軸承內外圈滾道之間由于受外載發生相對位移，可劃分為繞xoy 平面內某一方向的轉動和3 個平動分量。轉動方向定義在xoy平面內，轉軸角為φ，轉動角度為θ，則對應轉動四元數

滾珠受到滾道擠壓產生的變形量由變形前后的參數曲線間距離變化決定，變形前滾道參數線距離為

變形后對應某一滾珠，滾道參數線接觸點距離變為

式中：ti表示第i 個滾珠球心在參數曲線上的參數值，則表示發生相對位移后滾珠對應的內滾道參數取值，有

擠壓受力方向

式中：cart2pol（）表示將笛卡爾坐標轉化為極坐標的弧度參數，norm（）表示將向量單位化處理。由于實際滾珠變形受壓，接觸變形量不能夠為負數，所以有

基于赫茲接觸理論，接觸變形與接觸載荷的關系表示為

K 的計算與赫茲接觸點處的主曲率和、軸承材料的彈性模量等參數相關。對受力、力矩向3 個主方向上分解，可以得到

式中：N 為滾珠總個數，i 為滾珠編號，Li1，Li2分別為外圈接觸點到坐標原點距離，對于四點接觸球軸承，有

軸承受到復合外載荷時（同時包含軸力、徑向力和傾覆力矩），可以通過牛頓迭代法求解。已知復合外載荷F0=[Fx0，Fy0，Fz0，Mx0，My0]T，相對位移量δ=[δx，δy，δz，φ，θ]T，φ 為轉軸角，θ 為轉動角，通過迭代控制相對位移量使外載荷等于滾珠合力、合力矩。牛頓迭代需要求殘差梯度，求導函數復雜，因此使用數值求導代替。需要注意的是，滾珠和力矩只需要取前2 項，第三項繞Z 軸為軸承扭矩，但分析過程并未考慮摩擦力，求出的摩擦扭矩并無參考價值。

上述分析過程可以表示為如下標準化流程。

1）列出軸承內外圈相對位移量δ=[δx，δy，δz，φ，θ]T。

2）列出軸承內外圈的變形前滾道圓弧圓心（曲率中心）參數曲線。

3）根據位移量生成旋轉矩陣和平動位移向量，計算變形后的內圈參數曲線，外圈不變。

4）變形后內圈接觸點不動，計算接觸點到外圈斜對應參數曲線的距離，此距離減去變形前的距離即為滾珠變形壓縮量，計算滾珠受載角度。

5）根據赫茲接觸計算滾珠擠壓力，將所有滾珠擠壓力分解得到合力、合力矩。

對步驟1）—5）應用牛頓-拉夫遜方法，迭代求解相對位移量，并對應求出所有滾珠的載荷。

對于其他類型的球軸承，可以根據軸承的實際結構修改步驟2）中的參數曲線，但要注意步驟4）中內外參數曲線的一一對應關系也要相應做出修改。

2 算例分析

2.1 單列軸承

對上述模型進行驗證，以某型號四點接觸球軸承為例計算，其中軸承參數見表1。

表1 軸承參數

考慮軸承所受外載荷類型差異，角接觸球軸承可能同時承受徑向力、軸向力和傾覆力矩，且受力/力矩的方向有所區別。分別按照不同外載荷類型搭配，并依據各種載荷類型搭配劃分工況1—5，其中工況1—3為單一軸向力、徑向力和傾覆力矩，工況4 為側向力+傾覆力矩，工況5 為軸向力+徑向力+傾覆力矩，具體各工況載荷所占比例見表2。根據如圖2 所示的載荷方向，計算得到軸承外載荷分布如圖3 所示。

表2 工況載荷數據

圖2 軸承坐標系定義及參數示意

圖3 單列軸承不同工況下滾珠載荷分布

表2 的5 種工況表示受載情況逐漸復雜，對于四點接觸球軸承，在低轉速情況下不同的使用場景5 種工況都有可能出現，最復雜使用場景下會出現同時承載3 種載荷的情況。圖3 顯示了5 種工況載荷取表2所羅列的數值時的軸承滾珠的載荷分布，其中滾珠載荷以外圈滾道為參考對象，分別繪制了滾道左右兩側與滾珠接觸點的受力；滾珠編號則是按照xoy 平面內以x 軸為起點逆時針方向編排。工況1 表示對軸承施加純軸向載荷15000 N，此時軸承只有右側單邊受力，且每個滾珠受力完全相等，這與定性分析的結論是完全一致的。工況2 對軸承施加的是純徑向載荷，可以看到此時單個滾珠左右2 邊受到完全均等的擠壓力，但不同滾珠受力會發生變化，所有滾珠合力作用下形成純徑向載荷。工況3 為軸承只受傾覆力矩載荷，此時滾珠兩側壓力各不相同，綜合之下產生了合力矩。

工況4、工況5 為復合載荷的滾珠載荷分布情況，由于載荷類型的疊加，滾珠載荷分布基本呈現無規律變化狀態。工況4 為徑向力+傾覆力矩，工況5 為軸向力+徑向力+傾覆力矩，可以看到，外載荷越復雜，滾珠載荷峰值也越大。對比工況1 和工況5，增加徑向力和傾覆力矩之后，滾珠承受的壓力峰值從2400 N 增加到3503 N；工況2 和工況4 相比，增加傾覆力矩比純徑向力使滾珠壓力峰值從1529 N 增加到2302 N。同時注意到，徑向力和傾覆力矩也會造成滾珠載荷分布幅值（最大壓力減去最小壓力）的變化，從延長軸承壽命上來說，應該盡量避免這種情況。

2.2 雙列軸承

相比于單列的四點接觸軸承，雙列軸承兩列之間有列距L，只需要對載荷分布模型里參數曲線部分做些許修改，其余分析過程完全一致。如圖2 所示中的雙列軸承為例，參數曲線的x（t），y（t）部分不變，z（t）修改為

雙列軸承列距L=20 mm，其余參數保持與表1 一致，計算得到該雙列軸承的載荷分布如圖4 所示，可以認為，復合載荷對雙列軸承的載荷分布影響與對單列軸承的影響規律基本一致。此算例中的雙列軸承參數曲線與單列軸承相比只有z 刻度上的差異，且單列軸承相當于列距L=0 的雙列軸承。但是由于雙列軸承列距非零，其滾珠載荷相對原點的力臂會增大，因此雙列軸承在承擔傾覆力矩后會與單列軸承的載荷分布產生細微差別。需要著重注意的是，此算例中使用的雙列軸承每一列為兩點接觸，而單列軸承則是四點角接觸軸承；對于更為復雜的四點接觸雙列軸承或多列軸承，都可以采取增加參數曲線或修改曲線參數等措施進行修正，而無需重新建立分析流程。

圖4 雙列軸承受載后載荷分布

3 結束語

1）本文通過四元數描述旋轉的方法構建了軸承受載后的內外圈變形和載荷分布的計算模型，分析流程簡單而且標準化，可通過構建不同的滾道圓弧圓心參數曲線方程來修改模型，以適應不同的軸承類型。

2）軸承載荷模型考慮各類外載荷及其復合情形，可以求解軸承外部同時承受軸向力、徑向力和傾覆力矩的復雜外載荷情形，通過牛頓-拉夫遜方法求解出軸承內部的滾珠載荷，構建的模型無需關注于空間旋轉的復雜的三角函數關系。

3）針對單列四點接觸軸承和雙列兩點接觸軸承的各類外載荷做了數值計算分析，分析表明純軸向外載下的滾珠載荷分布是水平直線，徑向力和傾覆力矩會造成載荷不均勻分布，且傾覆力矩會使軸承兩側受力不等。相比于單列軸承，雙列軸承列距增加會引起軸承的載荷分布發生細微變化，但載荷分布基本趨勢不會發生變化。