規律教學的關鍵：觀察、概括、證明與運用

張海華

摘 要：初中數學中規律教學無處不在，包括從具體的情境中抽象概括出新的數學概念，運算法則（規律）的總結，再到很多習題中的規律問題，等等.如何開展規律問題的教學值得深入研究.在進行八年級“探究兩位數相乘的規律”的教學時，教師要辨析小學與初中的學段特征，引導學生觀察、發現并概括規律，用含字母的符號語言進行描述，接著運用所學的整式乘法、因式分解等知識進行證明，最后運用規律解決新的問題.這樣的解題教學過程就是帶領學生“深度思考”的過程，同時，在解題教學的對話過程中，教師也要修煉和精進“善于聆聽”的基本功.

關鍵詞：規律教學；兩位數相乘；深度思考；善于聆聽

1?教學內容分析

人教版八上第十四章《整式的乘法與因式分解》的章末安排了“數學活動”，引導學生探究兩位數相乘的規律.教材上兩組活動都是由簡單的數字計算出發，讓學生探究這些結果中蘊含的可以用含字母的整式來表示的數學規律，并運用所學的整式乘法和因式分解等知識來解釋或證明.本課內容的難點在于“恰當設元”，用含字母的等式表示所發現的規律，并規范證明含字母的等式成立.作為“學材再建構”的需要，這兩個數學活動在規律發現、證明之后，還可補充兩個規律的“圖形直觀”，讓學生感受到本章前后教學的“一致性”（比如，完全平方公式的文字語言、符號表示與圖形直觀）.對于學情較好的班級，還可引導學生發現“將一個正數分成兩個相等正數之和時，它們的積最大”.學生可以運用配方或圖形直觀的方法進行解釋或證明.以下給出本課的教學設計，提供研討.

2?“探究兩位數相乘的規律”教學設計

活動1：探究形如（10a+5）（a為正整數）的兩位數的平方的規律.

引例：讓學生回顧小學三年級就練習過的速算題，比如15×15，25×25，35×35的結果是多少？

教學組織：學生應該很快能算出結果，接著出示教材上的一組算式（可利用PPT動畫功能漸次出示）：

15×15＝1×2×100+25＝225，

25×25＝2×3×100+25＝625，

35×35＝3×4×100+25＝1225，

學生觀察這組算式的運算規律時，可從不同的角度進行描述，看看哪些地方相同，哪些地方不同.經過討論、交流，最終發現這三個式子都是十位數相同、個位數為5的兩個相同的數相乘，也可以看成是15、25、35的平方.進一步觀察計算過程，比如，結果的后兩位是如何得到的？前幾位是如何進行計算的？直到確認，每個算式結果的后兩位都是25，25前的幾位數是由十位數與比十位上的數大1的數相乘得到的.進一步，師生共同概括規律的文字語言（PPT出示）：十位上的數相同、個位上的數都為5的兩個兩位數相乘，其所得結果的后兩位數就是25；原數十位上的數加上1，再與自己相乘得到的結果，就是寫在25前的數字.

教師安排學生用含字母的式子簡明表示以上規律，并板書在黑板上：

符號表示：（10a+5）²＝100a（a+1）+25（a為正整數）.

隨后安排學生對所發現規律進行證明，只要等式左邊、右邊展開后能對應相等即可說明規律成立.

接著類比之前學習乘法公式時的經驗，取出課前備好的學具，在黑板上演示上述規律的拼圖，讓學生感受“發現規律”的“圖形直觀”.

活動2：探究形如（10a+b）和（10a+10-b）（a、b為正整數的兩位數）相乘的規律.

過渡：剛才我們已通過證明，得出以上猜想是正確的結論，現在請同學們繼續快速計算以下算式：

55×55；53×57；38×32；84×86；71×79.

教學組織：學生計算出結果之后，教師在PPT上漸次出示，并排列對齊，與“活動1”的研究類似，經過討論、交流，概括出如下規律：十位上的數相同、個位上的數的和為10的兩個兩位數相乘，十位上的數與它加1的數的乘積作為結果的千位和百位，兩個個位上的數相乘作為結果的十位和個位.

再引導學生用含字母的等式表示以上規律：

符號語言：（10a+b）（10a+10-b）＝100a（a+1）+b（10-b）（a、b為正整數）.

隨后同樣要求學生運用整式乘法的有關知識進行證明，將等式左邊、右邊展開后對應相等即可說明規律成立.

再利用PPT出示該規律的“圖形直觀”.

隨后給出以下一組同類練習讓學生利用發現的規律進行速算.

58×52；63×67；75²；95²；51×59；52×58；53×57；54×56；55×55.

活動3：“和為定值”的兩個兩位數相乘的規律.

從上述同類練習中選取一組算式，排列如下：

51×59＝3009，52×58＝3016，53×57＝3021，54×56＝3024，55×55＝3025.

教學組織：先提問“觀察算式中兩個數的積，這兩個數的和有什么關系，這些積的大小有什么規律？”這個問題需要先讓學生獨立思考，然后再安排小組內交流討論各自發現，最后再請小組代表上臺講解發現的規律.教師可以引導學生概括出規律“將一個正數分成兩個相等正數之和時，它們的積最大”.如果課堂時間來得及，應該繼續給出這個規律的符號語言，并安排學生運用所學乘法公式、因式分解等知識進行證明.

活動4：課堂小結，布置作業

小結問題：本課學習的兩位數相乘的規律，有些規律是小學就已發現并且運用在速算中的，而本課學習時重點關注的是用字母表示這些規律的等式，并進行證明，你覺得為什么要這樣做？

布置作業：

1. 計算：752＝? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，計算：37×33＝? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2. 比較大小：135×165? ? ? ? ? ? ? ? ? ?150×150，并說明理由.

3. 用長為100cm的繩子圍成一個長方形，怎樣確定長和寬，使得圍成的長方形面積最大？

3?教學立意的進一步闡釋

3.1?數學活動課要讓學生經歷觀察、猜想、證明與運用的全過程

寧連華教授指出，學生的答題素養上的不足主要有：想得不深，變得不當，算得不好，寫得不精.并提醒數學教學要重視以下四點：教深度思考，教合理變換，教運算思維，教精準表達.上文課例中的教學從學生在小學階段就熟悉的兩位數相乘的運算出發，關注運算思維，但又不只是訓練速算技巧，而要重點引導學生觀察、猜想出兩位數相乘的規律，從特殊走向一般，用含字母的等式表示規律，并運用初中階段所學習的整式乘法、因式分解等知識進行規律的證明，最后再利用所發現的規律解決更多的兩位數運算問題，學生經歷以上全過程之后，就是促進了學生“深度思考”.

3.2?數學活動課要重視師生對話、互動、追問與點評等教學預設

數學活動課的習題數量不需太多，關鍵在于帶領學生深入思考，教師在課前要圍繞典型問題充分預設，包括師生如何對話？怎樣互動？特別是，預設學生可能會有怎樣的回答，教師該如何追問或點評，課前充分預設，課上才能從容引導、借機點評.關于本文提到的數學活動課，特別要提及教師“善于聆聽”的專業基本功.我國著名數學教育家鐘善基先生曾指出，教師基本素養要重視聆聽能力的提升.鐘先生說：“關于聆聽能力，這里指的是有準確地聽清學生口頭提出問題的內容的能力，和有準確地聽清學生間互相討論的內容的能力.有些低年級學生常常‘詞不達意，教師必須能分辨清學生口頭語言實質的正誤，才能準確地答疑、補充或矯正錯誤又不致挫傷學生的學習積極性.”鐘先生上述關于“聆聽能力”的論述非常精辟，引發筆者強烈共鳴.上文課例幾處教學環節中，都需要學生先用文字語言概括所發現的規律，但有些學生常常“詞不達意”，如何分辨學生表達的正誤，確實對教師的聆聽、診評等專業基本功提出了很高的要求.

參考文獻：

［1］ 寧連華.指向核心素養的數學高考評價及教學轉向審思［J］.中學數學月刊，2022（11）：1-4.

［2］ 鐘善基.從教師的角度談數學教學對教師的幾項基本要求［J］.中學數學教學，1997（1）：1-5.