高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究

沈敏忠

摘 要：基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論在學(xué)科教學(xué)中的逐漸滲透使用，以及新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展兩大背景，本文嘗試在學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的指導(dǎo)下，以平面向量數(shù)量積運(yùn)算作為教學(xué)研究對(duì)象，實(shí)踐探索在課堂教學(xué)中，如何結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，為學(xué)生合理的搭建適宜學(xué)習(xí)的進(jìn)階點(diǎn)，使高中學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中能更好地提高數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)進(jìn)階理論;數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；平面向量

1?研究背景

1.1?學(xué)習(xí)進(jìn)階理論

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論起源于美國(guó)科學(xué)教育領(lǐng)域，美國(guó)國(guó)家研究理事會(huì)（簡(jiǎn)稱NRC）對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階的概念界定為：“學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)生連貫且逐漸深入的思維方式的假定描述，在一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間跨度下，學(xué)生學(xué)習(xí)和探究某一重要的知識(shí)或者實(shí)踐領(lǐng)域時(shí)，其思維方式逐漸進(jìn)階.”

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論常描述學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)某一模塊內(nèi)容時(shí)，需要分階段學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，通過不斷深化前一階段內(nèi)容的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對(duì)核心概念的理解，后一階段對(duì)該概念的學(xué)習(xí)都是以拓展前一階段的內(nèi)容為線索，最終目的是促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.

近年來，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論逐步進(jìn)入數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)領(lǐng)域.

1.2?數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，更多關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，而向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，運(yùn)算是向量的靈魂，所以借助構(gòu)建向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)進(jìn)階，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一種良策.

基于上述研究背景，本文擬以“平面向量的數(shù)量積運(yùn)算”作為研究對(duì)象，遵循數(shù)學(xué)概念建立的邏輯性和層次性，對(duì)研究對(duì)象分別進(jìn)行靜態(tài)、動(dòng)態(tài)的分階劃分，積極思考如何科學(xué)設(shè)置學(xué)習(xí)的進(jìn)階點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生有序建構(gòu)，期望最終能實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的有層次生成.

2?基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的研究對(duì)象和學(xué)情分析

2.1?研究對(duì)象分析

教材選用人教A版（2019版）必修第二冊(cè)6.2.4章節(jié)內(nèi)容，教材分為2個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)介紹數(shù)量積的概念，第二課時(shí)介紹數(shù)量積的運(yùn)算律.《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過數(shù)與形的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解.向量的數(shù)量積是向量運(yùn)算中的一個(gè)重要部分，在學(xué)習(xí)了平面向量的基本概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘這些線性運(yùn)算后，再繼續(xù)學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，深化向量運(yùn)算，讓學(xué)生完善平面向量的運(yùn)算體系，感受平面向量的運(yùn)算魅力.受教學(xué)課時(shí)影響，本次實(shí)踐教學(xué)以《平面向量數(shù)量積運(yùn)算》第一課時(shí)作為研究對(duì)象，主要介紹平面向量數(shù)量積的概念以及簡(jiǎn)單計(jì)算，對(duì)概念本身的處理.為了能更好地承接前面所學(xué)的向量的線性運(yùn)算，課堂教學(xué)時(shí)沒有先從物理做功的角度引入數(shù)量積，而是從代數(shù)運(yùn)算角度入手，通過對(duì)運(yùn)算結(jié)果的合理分析來引出平面向量數(shù)量積的概念，并進(jìn)一步從幾何直觀、物理融合等多角度對(duì)數(shù)量積概念加以深化理解.

2.2?學(xué)情分析

該段學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)象為高一年級(jí)學(xué)生，學(xué)生在物理知識(shí)方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了“力”“功”等相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)過向量前段時(shí)間的學(xué)習(xí)，對(duì)平面向量的概念，向量的加法、減法、數(shù)乘這些線性運(yùn)算及其相應(yīng)的運(yùn)算律有了一定的認(rèn)識(shí).

3?研究對(duì)象的學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的過程設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為應(yīng)該首先確定學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)和終點(diǎn)，高度重視由進(jìn)階起點(diǎn)到進(jìn)階終點(diǎn)的進(jìn)階序列的搭建，恰當(dāng)劃分進(jìn)階的層級(jí).為了促進(jìn)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升，首先需要明確具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算是什么，可以以此作為學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)，圍繞是什么（概念），怎么算（運(yùn)算律），與其它運(yùn)算的橫縱聯(lián)系（內(nèi)涵外延），以及運(yùn)算可以干什么用（運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用）等系列問題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的多維度感知，從而積極提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，達(dá)到學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn).為此，將平面向量的數(shù)量積教學(xué)第一課時(shí)進(jìn)行了如下層級(jí)的學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分（如表1）.

4?具體的學(xué)習(xí)進(jìn)階實(shí)踐

對(duì)照表1的學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分，本節(jié)課筆者將向量數(shù)量積的運(yùn)算教學(xué)按照確定學(xué)習(xí)進(jìn)階起點(diǎn)→生成概念→簡(jiǎn)單計(jì)算→探尋運(yùn)算的幾何意義→學(xué)科跨界融合→性質(zhì)探究→課堂小結(jié)的進(jìn)階線路展開，具體實(shí)施如下：

4.1?明確學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法、減法運(yùn)算，類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，向量能否相乘？如果能，那向量的乘法該怎樣定義？

設(shè)計(jì)意圖：在課堂引入環(huán)節(jié)，從類比實(shí)數(shù)運(yùn)算的角度來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)未知領(lǐng)域積極探索.

我們知道平面向量有大小、方向兩個(gè)要素，我們用模表示向量大小，用帶箭頭的有向線段表示方向，對(duì)單個(gè)向量的方向認(rèn)知，經(jīng)歷了從起點(diǎn)到終點(diǎn)的直觀感知，到借助坐標(biāo)表示向量的精準(zhǔn)定位的過程.對(duì)兩個(gè)非零向量，我們還可以從考查它們的位置關(guān)系入手進(jìn)一步理解向量?jī)蓚€(gè)要素的內(nèi)涵.我們可以如何刻畫兩個(gè)非零向量的不同的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生直觀感知可以用向量夾角來刻畫兩非零向量的不同位置關(guān)系，介紹平面向量夾角概念.

將最基本的向量加法運(yùn)算作為學(xué)習(xí)的進(jìn)階起點(diǎn)，開展對(duì)若干向量模長(zhǎng)關(guān)系的定量計(jì)算研究，有利于向量運(yùn)算由加法到乘法的前后承接，探究活動(dòng)中關(guān)注對(duì)運(yùn)算過程進(jìn)行由特殊到一般的思維訓(xùn)練、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行理性定量思考，這些思維活動(dòng)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

向量有著豐富的物理背景，在物理中，如果物體在與運(yùn)動(dòng)方向成角度θ的力的作用下，產(chǎn)生位移s，那么如何計(jì)算力對(duì)物體做功的大小？功的計(jì)算公式與向量的數(shù)量積有什么聯(lián)系？

從數(shù)學(xué)角度來看，力和位移都是向量，做功大小的計(jì)算過程從運(yùn)算角度理解，可以抽象為兩個(gè)向量的運(yùn)算問題，如何看待向量與向量的這種乘法運(yùn)算？該運(yùn)算與以往學(xué)過的向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算在運(yùn)算結(jié)果上有什么差異？

設(shè)計(jì)意圖：給出向量數(shù)量積的定義后，再聯(lián)想物理中功的計(jì)算，可以增強(qiáng)學(xué)科間的融合，增加對(duì)數(shù)量積概念的理解，同時(shí)也能很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.通過與以往的向量線性運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行比較，感受差異，讓學(xué)生明確向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，而非向量.

4.3?數(shù)量積的初步簡(jiǎn)單計(jì)算

4.6?課堂小結(jié)，留置探究空間

每一種運(yùn)算都有相應(yīng)的運(yùn)算法則，類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律，思考數(shù)量積有類似的運(yùn)算律嗎？

5?基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教學(xué)反思

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)運(yùn)用了學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，考慮到向量本身兼具數(shù)形兩方面的屬性特征，逐層引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握理解公式，從教學(xué)進(jìn)階起點(diǎn)的設(shè)置到數(shù)量積的概念引入，探尋數(shù)量積的幾何意義，再到思考數(shù)量積的簡(jiǎn)單性質(zhì)，層層遞進(jìn)，多角度幫助學(xué)生構(gòu)建并加深對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算的再認(rèn)識(shí).具體流程如下：

學(xué)習(xí)過程中，針對(duì)平面向量數(shù)量積概念的生成，設(shè)置不同的學(xué)習(xí)進(jìn)階點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，幫助學(xué)生逐級(jí)構(gòu)建并加深對(duì)平面向量數(shù)量積概念的再認(rèn)識(shí)，學(xué)生的主體地位得到了充分的彰顯，教師的主導(dǎo)作用得到了有效體現(xiàn)，學(xué)生探究問題的能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果的處理分析能力得到了有效鍛煉，在探究環(huán)節(jié)中還滲透了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)了從簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)知識(shí)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面進(jìn)階，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教學(xué)嘗試有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地生根.

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三·五”規(guī)劃課題“學(xué)習(xí)進(jìn)階理論下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：B-b/2020/02/156）；江蘇省“十三·五”規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下學(xué)習(xí)文化建設(shè)研究”（課題編號(hào)：C-c/2018/02/78）.