淺談操作學具幫助學生理解豎式算理的策略

廣東省深圳市寶安區教育科學研究院 高 雅

筆者連續聽了三節北師大版數學一年級下冊第六單元加與減（三）的第四課時“閱覽室（兩位數減一位數的退位減法）”的常態教研課。三位教師課前都做了充分的準備，尤其是在教具和學具的準備上下足了功夫：從“閱覽室”情境中抽象出“30-7”的算式后，他們給每個學生準備了計數器和小棒，讓學生用計數器撥一撥，用小棒擺一擺，然后再組織學生展示分享自己是怎么撥、怎么擺的。課后交流時，三位執教的教師都不約而同地反思道：花了大量的時間讓學生去操作、演示，學生動手操作和上臺分享占用了課堂太多的時間，有的學生說得又不是很清楚，導致算法沒有時間去強化練習，而學生對算理的理解似乎并不是很深刻。筆者聽出教師的弦外之音其實是想問：已經有很多學生能夠口算出30-7=23，課堂上還有沒有必要讓學生動手操作？直接教計算方法是不是省事而且有效得多？面對教師的困惑，筆者先后追問了兩個問題：①課堂上為什么要讓學生擺一擺、撥一撥呢？②兩位數減一位數的退位減法的算法和算理到底是什么？對于問題①教師們幾乎不假思索地脫口而出：因為不僅要讓學生掌握算法，還要通過操作讓學生理解算理。但問題②，教師們有些驚詫，竟然一時語塞，陷入短暫的靜思中……

可見，教師對“計算課不僅要掌握算法，更重要的是要讓學生理解算理”“要通過對小棒、計數器等實物的操作幫助學生探索計算方法、理解算理”這樣的理念和目標已經耳熟能詳并且在實際教學中努力地為這樣的目標實踐，但實踐效果并不理想，有的時候甚至讓教師產生“這樣的課堂教學效率并不高”的挫敗感。那么，教師將學具操作運用于教學實踐時到底走入了什么誤區？計算教學時應如何幫助學生掌握算法、理解算理？

一、研讀文本，厘清核心問題“算理、算法到底是什么”

“算法、算理到底是什么？”這是計算課教學的核心問題。這個問題會讓教師一時語塞，究其原因它在教學經驗里是一個“不是問題的問題”，連教師用書上都只是強調“掌握算法、理解算理”，而并未清楚地闡述算法和算理到底是什么。因此，教師有必要在研讀文本時弄清這個核心問題的本質。

算法就是計算的方法，是“怎么算”的問題；算理就是計算的道理，也就是“為什么這么算”的問題。我們首先追溯到不退位減法的算法和算理：比如57-42，怎么算？個位7 減2 等于5，十位5 減4 等于1，所以結果是15。因此，不退位減法的常用計算方法是個位上的數減個位上的數，十位上的數減十位上的數，也就是相同數位上的數相減。那么，這樣算的道理是什么呢？道理就是只有相同計數單位的數才能直接相加減。

從不退位減法到退位減法，學生會產生怎樣的思維沖突呢？比如30-7，用原有的計算方法“個位上的數減個位上的數”會遇到“新問題”，因為個位的0減7不夠減，那怎么辦呢？辦法就是退1 當10 再減。為什么是“退1當10”呢？因為1 個十就是10 個一，“退1 當10”實際就是“十”與“一”這兩個計數單位間的等量轉換。簡而言之：兩位數減一位數的退位減法的算法就是在原有的“相同數位上的數分別相減”的基礎上“退1 當10 再減”，算理就是“1 個十相當于10 個一”。那么，與此相對應的進位加法的算法就是“滿10 進1”，算理就是“10 個一是1 個十”。后續學習三位數加減法和多位數加減法時，學生可以以此為經驗，進一步深化理解“滿十進一”和“退一當十”的道理并由此發展多樣化的算法。

又如學習除法豎式時，“理解除法豎式中每一步的含義”也是學習中的難點，教師往往也是通過分物過程來解釋豎式每一步所表示的意思，從而幫助學生理解除法豎式的算理。那么，除法豎式的算理到底是什么呢？以68÷2 為例（見下表）：

68÷2 除法豎式的算理分析

教學時要結合現實的分物過程解釋豎式每一步的意思，讓學生體會，豎式是分物過程的一種記錄方式，從而讓學生把分物操作內化成其數學思維過程。

二、設計合適的導學問題，引領學生帶著問題動手操作

問題的指向性是否明確也是影響教學效果的重要因素之一。在教學“30-7”時，在學生動手操作前，教師提出了比較常見的導學問題：30 減7 得多少或者30 減7 怎么算？請你用小棒和計數器算一算。這個導學問題有兩個弊端：一是學生沒有操作小棒和計數器的需求，只是按照教師的要求進行“假操作”，因為他早就算出了30-7=23；二是學生誤認為用小棒計算、用計數器計算、用豎式計算是三種不同的計算方法。其實在這里，小棒、計數器、豎式是三種不同的計算工具，而小棒和計數器能直觀地演示出豎式計算中“在十位上打個小圓點，個位就變成10 減7”的道理，即小棒和計數器的演示是為了直觀理解算理，這也是小棒和計數器操作的必要性和重要性所在。設計怎樣的導學問題，才能讓學生產生用小棒和計數器操作的需求并幫助學生理解“退一當十”的道理呢？

“0 減7 不夠減，怎么辦呢？”“要從3 捆里減去7根，怎么辦呢？”“個位一個珠子也沒有，要減去7 個，怎么辦呢？”這類問題是引領學生動手操作的重要導學問題。“怎么辦？”指向學生需要動腦筋想辦法解決問題，從而產生操作的需求并在操作時關注解決問題的方法，而不僅僅是關注計算的結果。從小棒的操作來看，需要拆散一捆，變成10 根，從10 根里減去7 根。從計數器的操作來看，需要從十位退掉1 顆珠子換成個位的10 顆珠子，再從個位的10 顆珠子里減去7。這些操作動作都是在直觀地解釋豎式中“在十位打個小圓點就在個位當10來減”的原因，豎式則是在簡潔地記錄“退1 當10”的過程。

相對于“怎么算？得多少？”，“不夠減怎么辦？”是更貼近一年級學生認知水平的導學問題，能有效地幫助學生建立直觀操作與抽象數算之間的對應關系，從而達到通過直觀操作理解算理的目的。因此，在實踐教學中，教師需要將核心素養的目標具體化，并依據具體化的目標設計最能引發學生學習需求和思考的導學問題。

三、聚焦關鍵動作，幫助學生建立聯結，澄清思維

學生在導學問題的引領下，運用小棒和計數器進行獨立操作之后，教師會組織學生展示分享他們解決問題的過程和方法。獨立操作后的集體展示分享是課堂教學中非常重要的一種教學方式，在一定程度上保證了學生學習思考的時間和空間。如果說獨立操作是個體自主學習的過程，那么展示分享就是一個集體共享共進的過程。而最讓教師苦惱的是學生的“共享”往往不得要領，“共進”也有點停滯不前。怎么辦？鄭毓信教授指出，學生的自主學習不能忽視教師的指導和幫助。在展示分享環節，教師如何指導和幫助學生想得更深入、更全面、更清晰呢？“聚焦關鍵動作，建立直觀操作與抽象算理之間的聯結 ”是教師需要建立的重要思維方式。

就退位減法這節課而言，操作的關鍵是“把1 捆拆開”或者“十位1 顆珠子換成個位十顆珠子”，而學生的展示分享往往是流水賬式的，即把“拆開一捆、從10 根里去掉7 根、還剩23 根”的全過程一點不差地演示出來，甚至在減7 根的時候還是一根一根減的，導致演示過程很長，學生注意力分散。因此，教師要幫助學生養成操作后思考的習慣，即回顧反思，想想是怎么解決問題的，解決問題的關鍵是什么；然后在思考的基礎上聚焦到關鍵動作是“散開一捆變成10 根”或者“將十位的一顆珠子換成個位的10 顆珠子”，從而理解“退一當十”。

這樣的算法和算理教學不僅適用于兩位數減一位數的退位減法，也適用于多位數的退位減法。從這個意義來說，兩位數的退位減法又是整個退位減法教學的起始課，而退位減法的計算方法又蘊含著轉化的思想，即“個位不夠減”這個新問題如何轉化成已經解決的舊問題，只要“借1 當10”就實現了新問題向舊問題的轉化，新問題就能迎刃而解。

關于算法和算理的教學貫穿整個小學階段的四則運算，對“什么是算法和算理”的追問又應該統領運算教學的全過程，這樣相關教學就不僅是給操作與分享提供時間和空間，而更重要的是指導學生在操作和分享中實現從經驗認知到數學認知的超越。