對一道二元最值問題的解法探究

李一粲 吳云

摘 要：最值問題是數學學習中普遍存在的一類典型問題，解法也是多種多樣、優劣有別.遇到具體的最值問題，在嘗試多種方法的同時，也需要根據具體情況選擇合理、高效的解法.本文通過對一道二元最值問題的探究與分析，歸納這類問題的求解思路與策略，并對解法的適切性進行分析，以便更好地鞏固所學的知識與方法，提高解題效率.

關鍵詞：基本不等式；二元最值；一題多解

在高三數學復習中，二元函數的最值問題是一種常見的題型，它常常融合函數、不等式、解析幾何等知識，具有綜合性強、思維量大、技巧性強等特點，是數學學習中的一個熱點及難點.在此知識點的學習過程中需要不斷加強反思、歸納和總結解題策略，以此探究解題規律，揭示解題方法，形成解題技能.下面對一道二元最值問題的解法進行探究.

1?問題呈現

問題：已知正實數x，y滿足5x²+4xy-y²＝1，則12x²+8xy-y²的最小值為? ? ? ? ? ? ? ??.

這是一個比較常見的二元條件極值問題，即在“正實數x，y滿足5x²+4xy-y²＝1”的條件下，求一個類似式子12x²+8xy-y²的最小值.表面看起來兩式形式接近，能比較容易找到兩者的關系并恰當變換出目標，其實，真正處理起來還是有不少困難的，只有選擇合適的路徑方能有效解答.

2?解法探索

2.1?“1”的代換法

“1”的代換法是求最值問題時常用的方法，即用題目中或已知公式中與1有關的等式，將1用等式替換下來，變成較繁的式子，“欲擒故縱”，使后續的變換能夠達到求出最值的目標.

2.2?雙變量代換法

雙變量代換法是通過設兩個變量，換成另外一種對稱的形式，進而轉化成可以使用基本不等式等工具的形式，使問題得解.

評注：因式分解是雙變量換元的基礎和前提.途徑2是先對求解目標恒等變形再求其最值，運算上優于途徑1，解法2應該是該題的最佳解法.

2.3?判別式法

判別式法也是求解最值問題時常用的方法，即通過變換，將欲求的最值的式子轉化成一個一元二次方程的系數，利用該一元二次方程有解時其判別式不小于零的特點求得最值.

解法3：

因為5x²+4xy-y²＝1①，

所以12x²+8xy-y²＝12x²+8xy-（5x²+4xy-1）=7x²+4xy+1，

評注：該解法首先利用①式將12x²+8xy-y²進行恒等變形，再將所求目標式子整體設參，從而表示y，再代入①中，通過換元得到③式，最后結合方程有正實數解進行求解.

2.4?基本不等式法

基本不等式法即為直接利用基本不等式成立的條件及相關性質，結合相應的變換而得到最值的方法.

此題還可以借助于“GGB”探究其幾何背景.

方程5x²+4xy-y²＝1為雙曲線的方程，令t＝12x²+8xy-y²，則t-2＝2x²+y²，t＞2，表示橢圓的方程.如圖1所示，雙曲線和橢圓的中心均為坐標原點，當t變化使得橢圓和雙曲線相切時，t取得最小值，即為所求，這也是判別式方法的由來.該題的幾何背景是研究兩個二次曲線的位置關系問題，借助于“GGB”技術可以將抽象的數學問題具體化、可視化.它將“靜態的”問題演繹成“發展的”“動態的”和“可視化的”過程，經歷從抽象到具體的過程，實現從“不可見”到“可視化”的過程，更利于問題的發現、方法的形成、知識體系的構建、洞悉數學的本質，突破數學“難以意會，無法言傳”的障礙，提升思維層次.

對于二元最值問題，首先還是要掌握基本的、常用的方法，比如通過代入、加減消元等手段將其一元化，轉化為基本不等式或函數的求最值問題.其次根據題設條件挖掘一些隱含信息，了解試題的背景，不僅指導這道題怎么做，更要學會抓住問題的本質，歸納這一類問題的解題思想和方法，達到解一題通一類的效果.

參考文獻：

［1］ 郭建華.“1”的美麗變身［J］.數理天地（高中版），2018（11）：13-14.