樣本估計總體在生活中的應用例析

山東省陽信縣幸福中學 菅會娟

有時由于研究對象個體太多，限于人力與物力而無法做全面的調查，抑或調查時具有破壞性，我們只能抽樣調查.抽樣的方法包括簡單隨機抽樣、分層抽樣，以及整群抽樣和系統抽樣等.從總體中抽取一部分個體，得到樣本，如何用樣本估計總體呢？有兩種途徑：一是從圖形的角度用樣本估計總體，它需要用頻率分布表列出各小組的頻數與頻率，抑或用頻率分布直方圖畫出頻數；二是從代數的角度用樣本估計總體，即算出樣本的平均數、方差和極差等，用樣本的特征數估計總體的特征數.本文中運用實例說明如何在實際生活中用樣本估計總體，以及具體的方法步驟和注意事項.

1 用捕撈的魚估計魚塘里的魚

魚塘里養了一定數量的魚，如何知道這些魚的總質量呢？我們不可能將魚全部打撈上來稱其質量，只能用樣本估計總體，即捕撈部分魚稱其質量，求出魚的平均質量，把樣本中魚的平均質量作為總體中魚的平均質量，再乘魚的條數，進而估計魚的總質量.

例1久盛養殖專業戶養了2 000條大肥魚，現到了捕撈銷售的時機，戶主想知道這些魚的總重量，現進行了三次取樣，且記錄列表如下：

魚的條數每條魚的平均質量/kg第一次捕撈151.6第二次捕撈152.0第三次捕撈101.8

(1)利用以上數據估計每條魚的質量.再估計所有魚的總重量，如果戶主探知今天的魚7.5元/kg，那么戶主可收入多少錢？

(2)戶主魚塘的魚有大型魚與小型魚之分，且大型魚與小型魚的價格不相同，分別為10元/kg和6元/kg，如果此時收入仍不低于第(1)問中的收入，那么魚塘中大型魚的總質量最少不能低于多少？

解析：(1)根據平均數的公式求解，每條魚的平均質量×總條數=總質量，總收入=總質量×7.5.

每條魚的平均質量=(15×1.6+15×2.0+10×1.8)÷40=1.8(kg)；總質量=1.8×2 000=3 600(kg)；總收入=3 600×7.5=27 000(元).

(2)列不等式求解.設戶主大型魚的最小質量為xkg，根據“此時收入仍不低于(1)中的收入”，得10x+6(3 600-x)≥27 000，解得x≥1 350.

答：魚塘中大型魚的總質量最少不能低于1 350 kg.

評注：本題中樣本的平均數為加權平均數，因為表格中三個平均數的對應魚的條數不同，即權重不同，所以不能用三個數的平均數作為三次捕撈的平均數.在不等式的應用里，一般設一個未知數建立不等式求解，盡量不設兩個未知數，因為二元不等式的解法比較復雜，且超出學生目前所學范圍.

2 用抽到的青年估計未被抽到的青年

微信是目前使用較廣的一種信息交換工具，為了解人們使用微信的時長及年齡段情況，且由于這樣的調查不具有重大意義，所以使用抽樣調查即可，即用樣本的特征數來估計總體的特征數.在調查中發現，使用微信的人群以青年人和中年人居多，且他們每天使用微信的時長大多數在一小時以上，說明微信已成現代人類生活的必備工具.

(1)根據以上信息，完成下表：

青年人中年人合計經常使用微信 不經常使用微信 合計 180

(2)擁有4 000萬人口的某個省份，估計一下每天使用微信超過1小時的青年人(即年齡不過40歲)有多少？

解析：(1)根據題意逐條分析求解.

青年人中不經常使用微信的人數為135-80=55，因為經常使用微信的人數為90+30=120，所以不經常使用微信的人數為180-120=60.故中年人中不經常使用微信的人數為60-55=5，補全表格如下：

青年人中年人合計經常使用微信8040120不經常使用微信55560合計13545180

評注：本題涉及的量比較多，共有6個相關的量，解答時要先從易求的量入手，隨著求出量的增多，解答會越來越容易.本題運用成比例增長的方法，用樣本估計總體，即將樣本中的百分率作為總體中的百分率進行估計.

3 用一周的用電量估計一月的用電量

現代家庭隨著家用電器的增多，用電問題成為大家越來越關注的話題.如何在月初預測出這個月將會使用的電量呢？需要使用樣本估計總體，可以通過連續幾天的觀察，得到幾天的用電量，求出樣本的平均用電量，用這個平均用電量乘本月的天數可估計出全月的用電量.

例3張經來家喜遷新居，又增加了一些新的電器，在這種狀況下，一個月用多少度電呢？他在六月份的第一個周觀察了電表示數，記錄如下：

日期電表顯示度數/(kw·h)1日1152日1183日1224日1275日1336日1367日1408日143

(1)張經來家六月份將用多少度電？

(2)張經來使用一周的用電量來估算整個一年的用電情況合適嗎？

(3)如何估算張經來家整個一年的用電量更合適？

解析：(1)先求一周的總電量，除天數得每天的平均用電量，再乘以30天，得一個月的用電量.7天的總用電量=143-115=28(kw·h)，每天的平均用電量=28÷7=4(kw·h)，六月有30天，故這個家庭六月份的總用電量為4×30=120(kw·h).

(2)根據電器的季節使用情況判定.因為六月份屬于夏季，用電量較大，所以用這個月的用電量估計全年的用電量不妥當.

(3)每種電器的使用情況不一樣，要分別估計用電量，再估計一年的用電情況.

評注：電度表每天都有一個示數，每天的用電量應該用第二天的示數減去第一天的示數，一周的用電量應該用周一的示數減去上周一的示數.本題不僅考查了用樣本估計總體，而且還考查了抽樣調查的合理性，抽取的樣本具有代表性和廣泛性，才是合理的.

4 用樹苗成活率估計成活的樹苗

由于受土壤、氣溫、人工操作等諸多因素的影響，移栽樹苗時一般不可能100%成活，都有一定的成活率，這是我們都必須承認的事實，所以園林公司要想得到成活后的一萬棵樹苗，那么開始移栽的樹苗數量必須大于一萬棵，到底多移栽多少棵呢？我們可以通過實驗的方法找到成活率，用一萬棵除以成活率就可以得到開始移栽的數量.

例4南方某市市政公司培育出新品種風景樹苗，為考察這種風景樹苗的移植成活率，調查人員進行了統計，結果如下表所示.

累積移植總數/棵1005001 0002 0005 00010 000成活率0.9100.9680.9420.9560.9470.950

這個城市實施打造人類宜居環境，需移植一批這種樹苗，若這批樹苗移植后要有28.5萬棵成活，那么需要一次性移植多少棵樹苗，較為合適？為什么？

解析：由題中表格可知，隨著樹苗移植數量的增加，樹苗移植成活率越來越穩定.當移植總數為10 000時，成活率為0.950，于是可以估計樹苗移植成活率為0.950，則該市需要購買的樹苗數量約為28.5÷0.950=30(萬棵).

評注：此題是用多次重復試驗得到成活率，則可將頻率的穩定值作為一棵樹苗成活的概率，然后用成活的樹苗數除以頻率，得到總數，即移植樹苗的數量.整個解答過程可分為兩步，一是先用頻率估計概率，二是再用樣本概率估計總體概率.

用樣本估計總體的應用還包括在摸球試驗中，用摸出一種顏色球的頻率，估計口袋里小球的總數量等，但是無論我們如何抽取樣本，樣本總是總體的一部分，樣本的平均數只能反映樣本的集中趨勢，然而總體的集中趨勢只能由總體平均數反映最準確，兩個量不可能完全相同，有一定的差異，只能盡可能接近，我們得到的是一個估計值.