二次函數中動點存在性問題解題策略
——以三角形存在性問題為例

揚州大學數學科學學院 圣慧晴 王 龍

二次函數動點問題中三角形存在性問題是常見的圖象動點問題，它是指“通過某一動點把函數具有的基本特征與幾何圖形加以有效結合”[1]，它常將幾何運算與函數、分類討論、方程等問題融合，考查三角形的性質、二次函數的性質等內容.對于該類動點問題，只要認真分析其本質——“變”與“不變”的情況，把握分類依據，對可能的情況進行分類討論，然后建立相關的函數解析式或方程即可求解.下面將以等腰三角形和相似三角形的存在性問題為例進行說明.

1 例題解析

(1)求A，B，C三點的坐標；

(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

解析：(1)令y=0,可得x1=-3，x2=4 ,故A(-3，0)，B(4，0).令x=0,可得y=-4，故C(0，-4).

因此A(-3，0)，B(4，0)，C(0，-4).

(2)因為B(4，0)，C(0，-4)，所以lBC:y=x-4.又Q在BC上，可設Q(m，m-4)(0

以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形共有三種情況，下面分類討論.

評析：本題考查了二次函數動點問題中等腰三角形的存在問題.第(1)問屬于常規問題，較為簡單.第(2)問主要考查了等腰三角形的性質以及分類討論思想，難度屬于中等檔次.第(2)問究其本質，考查的是等腰三角形兩條腰相等的性質，找到這兩條腰就是突破本題的關鍵.題目并沒有明確給出哪條邊是腰，因此需要進行分類討論.

圖2

例2如圖2，在平面直角坐標系中，直線y=x-1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點，其中A(m,0)，B(4,n)，該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D.

(1)求m,n的值及該拋物線的解析式；

圖3

(2)如圖3，連接BD,CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A,D,Q為頂點的三角形與ABD相似？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

故A(1,0)，B(4,3).

又點A，B均在拋物線上，則

所以y=-x2+6x-5.

(2)存在.

令x=0,得y=-5，故C(0,-5).

因為A(1,0)，B(4,3)，C(0,-5)，D(5,0)，所以

因為kAB=kCD，所以AB∥CD.

故∠BAD=∠ADC.

因此，當△ABD與△AQD相似時，只有以下兩種情況：①△ABD∽△DAQ，②△ABD∽△DQA.因為點Q在線段CD上，又kCD=1，故lCD:y=x-5，不妨設Q(q,q-5)(0≤q≤5).

圖4

圖5

評析：本題考查了二次函數的解析式和相似三角形動點存在性問題.第(1)問屬于常規問題，比較簡單.第(2)問則是在二次函數的基礎上融合了三角形相似的內容.求解第(2)問時要關注題目中三角形頂點的順序問題，再進行分類討論.對于該題的分類，因為已知有一組角已經相等，即已經確定了一組對應點，那么只需對剩下的兩組角相等的情況進行分類，然后聯立解方程即可.

2 策略總結

從以上兩道例題可以看出，在求解二次函數中三角形存在性問題時，常與分類討論思想相結合.分類的依據是解題的核心與關鍵，在等腰三角形中，常常以邊的相等情況為分類依據；在相似三角形中，角相等或邊成比例往往成為分類依據.其次，方程思想也是不容忽視的重要思想，在進行分類后，往往會通過聯立方程求解.對于題目中所包含的邊、角關系都需要引起重視，這些都可以為聯立方程提供依據.最后，三角形存在性問題是建立在二次函數的定義、性質的基礎上對問題進行的變式與創新，其本質不變，故能透徹理解和應用二次函數的知識是最基本的要求.對于等腰三角形和相似三角形存在性問題，總結如下解題策略.

證明等腰三角形存在時：(1)寫出等腰三角形存在的三種方程；(2)利用坐標之間的關系表示出三條邊；(3)將所表示邊代入方程求解.值得注意的是，審題需要注意自變量的取值范圍，這往往也是限制方程解的條件.

證明相似三角形存在問題：(1)根據題目信息，找出已知可能相等的角或邊的比例關系；(2)將剩下的角或邊分別進行配對得到相似；(3)根據相似得到邊的比例關系，再將各邊表示出來代入等式方程求解即可.

總之，掌握二次函數中動點存在性問題的相關解題策略對學生解題有著非常大的幫助作用，本文主要以兩種特殊的三角形為例進行展示，希望可以為學生熟練掌握解題技巧，以及靈活運用知識提供助力.