抓住數學本質 考查核心知識
——一道中考壓軸題的命制歷程

湖北省宜昌市夷陵區東湖初級中學 黃 新 湖北省宜昌市教育科學研究院 張 欽

筆者曾有幸參加中考數學命題工作，現將中考數學試卷第23題的命題考查靶向、命題預設、素材選取、雛形編制、試題打磨等命制過程進行展示，與大家分享.

1 設想與來源

1.1 命題設想

中考是在完成義務教育基礎上進行的選拔性考試，命題要考慮初中學生升入高中后繼續學習的潛在能力.根據中考功能，命題組確定第23題為幾何壓軸題，命題定位于通過幾何圖形的運動與變換，借助數學活動，考查數學核心知識.命題設想以教材中的素材為原型，最好在“數學活動”中選取；重視推理，突出考查合情推理與演繹推理的有機結合[1]；關注探究，注重對數學基本活動經驗的考查；關注交匯，考查初中幾何核心知識，規避試題模式化；注重公平，規避資料上出現的題目；強化核心，有效導向初中幾何的教與學.

1.2 試題取材

查看人教版教材，筆者首先找到人教版八年級下冊第64頁“數學活動”中的活動1： 折紙做60°，30°，15°的角.

圖1

教材原題: 如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如圖1).

(1)對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

(2)再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM.同時，得到了線段BN.

觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個角有什么關系？你能證明嗎？

教材意圖：教材給出利用矩形紙片折出30°角的方法，運用折的過程得到全等三角形，以及利用直角邊和斜邊的關系判斷30°角的方法，這個活動既有動手操作，又有一定的趣味性.本活動關注學生通過動手操作和觀察經歷數學思考，主動獲取數學知識，并感悟數學思想方法，積累基本學習活動經驗，同時復習矩形的性質、三角形全等以及直角三角形等核心知識.

2 試題編制與打磨

作為中考數學試題中的幾何壓軸題，考查高度必須高于教材難度，并且盡量覆蓋初中階段幾何核心知識，考查基本圖形的典型性質.母題出現在八年級下冊，它所涉及的初中幾何知識比較少，筆者在此圖形的基礎上，通過折疊變換改變條件，整合相關性質和圖形間關系，以探究相關結論來創編,達到命題預設.

2.1 改變折疊方式，初稿框架稚現

第1稿：四邊形ABCD是矩形，P是AB上一點，將△PBC沿PC折疊得到△PB′C，直線CB′與AD交于點E，BE，CP交于點F，DC=6.

(1)如圖2，當點A與點P重合時，比較線段AE與DE的大??；

圖2

圖3

(2)如圖3，點P在運動的過程中，有唯一點P使PB′∥BE，求AP∶PB；

圖4

(3)如圖4，當PB′∥BE時，半徑為2的⊙O與△PBC的兩邊相切，且點O在△PBC的內部或邊上，求PB的取值范圍.

診斷分析：第(1)問為“比較線段長度大小”這個基本的數學問題，考查折疊的基本性質及直角三角形邊角關系，絕大多數學生能解決，體現了試題由易到難的基本特征.第(2)問考點設置比較好，體現了數形結合思想.第(3)問關聯圓的知識，突出了對核心知識與方法的考查預設.第1稿出來之后，命題組成員認為“以矩形及矩形折疊為基本條件，將矩形上一點設置為動點，折疊所得圖形隨動點的移動而變化”為題干的思路比較好.但是，第(2)問入口太窄，方法比較單一，難度偏大，建議將動點改為定點，重新編制題干；第(3)問把圓的知識放進去，感覺比較突兀，導致本道題不流暢、不自然，有拼湊之嫌，同時分類太多致使書寫量偏大，不利于考生解答.于是嘗試將(3)中“⊙O與△PBC的兩邊相切”改為“以CF為直徑作圓，交DE于點G”，將動圓設置為定圓，以更好地突出考查數學本質，于是得到第2稿.

2.2 精準考查核心， 改造條件設問

第2稿：四邊形ABCD是矩形，P是AB上一點，將△PBC沿PC折疊得到△PB′C，CB′與AD交于點E，BE，CP交于點F，PB′∥BE.

(1)如圖5，①求證：BP=BF；②E是AD的中點，且AD=nAB，求n的值.

圖5

圖6

診斷分析：第2稿中，第(1)問中“E是AD的中點，且AD=nAB”不簡約，并且條件“AD=nAB”的出現，可能會給學生帶來一定的思維障礙；第(2)問設置求“tan∠ECG”，需要學生自己搭橋太多，計算量過大，證三角形相似次數太多，而且方法單一.命題組經過討論，認為圓在這里出現仍比較牽強，不能突出對核心知識的考查，決定只在直線型中挖掘新的結論，突出對學生解決問題方式的考查.

2.3 優化條件設問，突出運算推理

第3稿：已知矩形ABCD中，P是邊AB上一點，把△PBC沿著直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，CG交線段AD于點E，連接BE，與線段PC交于點F，且BE⊥CG.

(1)如圖7，AE=DE，求證：AD=2AB；

圖7

圖8

(2)如圖8，AE

診斷分析：在討論第3稿時認為，設置第(1)問的目的，一是考查三角形全等的證明方法，二是為求tan∠PCB的值作鋪墊.雖然第(1)問中設置的“求證AD=2AB”的方法較多，有利于考查思維的全面性，但對于本題后續問題的解決有干擾，并且后續第(2)問中的①②問都要用到三角形相似的知識，因此決定將第(1)問直接設置為證三角形全等.第(2)問給的數據為分數，在形式上給學生造成運算的心理負擔，于是將條件中的數據設置為整數，給學生以簡潔的感覺，體現人文關懷，但是對比本地模擬題中大多是求正切值，①中求tan∠PCB的值存在套路，達不到預期的區分度，因此改為“求cos∠PCB的值”.

2.4 直擊數學本質 ， 彰顯人文關懷

確定好題目考查方向后，再次核對課程標準中對應的知識及能力要求，看是否符合命題要求.最后環節是語句的打磨及圖形的再構造，確保試題簡潔、美觀、悅目，確保考查的效度[2]，彰顯人文關懷.最后得到如下中考數學第23題.

中考稿：在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E，BE交PC于F，點E在AD上.

(1)如圖9，當點E是AD的中點時，求證：△EAB≌△EDC；

(2)如圖10，①求證：BP=BF；

②當AD=25，且AE

③當BP=9時，BE·EF的值.

圖9

圖10

診斷分析：本題最終以矩形為背景進行圖形變換，以考查幾何推理為主，并設問求線段長的乘積及三角函數值等，充分考查學生幾何直觀、空間想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.設問具有關聯性，“①求證：BP=BF”，為解決第②問起到搭橋的作用；②中條件“AE

3 命題感悟

3.1 打磨細節，增強考查的效度

編制本題時，難點定在對數學思維的考查，并在題干及問題設置上滲透人文關懷.精心打磨題干語言，力求與教材中的習題語言的規范性一致，通過多次打磨，降低了學生閱讀量，學生不存在閱讀障礙；精心搭建橋梁臺階，通過設置遞進式問題引導學生思維；精心拓寬解題入口，秉承“人人都有獲得數學教育的機會”理念，爭取讓 “人人都敢于嘗試壓軸題”，試題解法多樣，便于不同水平的考生都能有施展身手的舞臺.

3.2 適時反思，著眼核心素養