初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)方案

山東省高青縣第三中學(xué) 李 鵬

新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出在初中數(shù)學(xué)幾何部分教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視對(duì)學(xué)生幾何直觀(guān)能力的培養(yǎng)，使學(xué)生數(shù)學(xué)思維更加完善，以幫助學(xué)生更好地解決幾何問(wèn)題.而幾何直觀(guān)能力是分析圖形、總結(jié)問(wèn)題、認(rèn)識(shí)事物等方面能力的集合，是個(gè)體創(chuàng)造性思維以及敏銳洞察能力在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的表現(xiàn).利用幾何直觀(guān)解決幾何問(wèn)題，能夠快速獲取圖形中有用的信息進(jìn)而對(duì)圖形產(chǎn)生更為直觀(guān)的理解，提高學(xué)生解題效率與準(zhǔn)確率，也有助于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).但目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀(guān)能力的培養(yǎng)存在明顯誤區(qū)與問(wèn)題，本文中則根據(jù)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生幾何直觀(guān)能力的培養(yǎng)狀況，制定科學(xué)培養(yǎng)方案，以提高學(xué)生幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)質(zhì)量與效果.

1 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)現(xiàn)狀

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生幾何直觀(guān)能力的培養(yǎng)主要目的在于強(qiáng)化學(xué)生幾何思維及空間幾何能力，使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀芜壿?，進(jìn)而在解決問(wèn)題過(guò)程中能夠快速找到突破口，減少不重要信息的干擾，樹(shù)立學(xué)生自信.但在目前的教學(xué)實(shí)踐中，能力培養(yǎng)誤區(qū)以及缺陷十分明顯.具體如下：

教師常陷入到為直觀(guān)而直觀(guān)的誤區(qū)當(dāng)中，過(guò)分地強(qiáng)調(diào)直觀(guān)剖析幾何圖形，阻礙學(xué)生邏輯思維形成過(guò)程中對(duì)抽象真理的思考.直觀(guān)的圖形雖能夠幫助學(xué)生更輕松地理解與獲取解題信息，但濫用手段創(chuàng)造直觀(guān)觀(guān)察條件或不科學(xué)的直觀(guān)分析方法，將對(duì)學(xué)生正確、理性、嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維的形成產(chǎn)生重大干擾.同時(shí)，由于初中生理論知識(shí)與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有限，在直觀(guān)理解圖形的過(guò)程中，容易出現(xiàn)誤差.這種誤差的長(zhǎng)期存在是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題科學(xué)性以及嚴(yán)謹(jǐn)性的破壞，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生難以獲得正確的結(jié)果.而教師在教學(xué)中未能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生理解誤差、克服誤差，忽視了直觀(guān)能力背后理性思維的形成，導(dǎo)致學(xué)生難以由直觀(guān)的猜想上升到科學(xué)的推理，從而能力發(fā)展始終停留在淺層階段.

此外，從總結(jié)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，目前影響培養(yǎng)初中生幾何直觀(guān)能力的問(wèn)題較多，如，教材因素.教材作為傳播知識(shí)的媒介，是學(xué)生能力發(fā)展的基礎(chǔ)工具之一，但初中數(shù)學(xué)教材中幾何部分的設(shè)置存在不合理之處.數(shù)學(xué)本身具有圖形直觀(guān)以及代數(shù)的雙重特征，但教材難以引導(dǎo)學(xué)生了解幾何背景，對(duì)于圖形的直觀(guān)演示過(guò)少，與學(xué)生的思維不符，從而很多學(xué)生根據(jù)意象理解教材中的知識(shí)點(diǎn)，無(wú)法借助直觀(guān)的幾何信息對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與思考.因此，這也是導(dǎo)致學(xué)生幾何直觀(guān)能力普遍偏低的因素之一.事實(shí)上，在圖形整體結(jié)構(gòu)以及空間形式上，我國(guó)初中學(xué)生的想象力以及理解力水平同樣較低，亟待提升.

2 幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)方案分析

學(xué)生掌握知識(shí)的基本歷程為：感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí)，特殊認(rèn)識(shí)—一般認(rèn)識(shí).因此，在教學(xué)過(guò)程中，利用直觀(guān)的圖形能夠使學(xué)生對(duì)知識(shí)形成具象化的認(rèn)識(shí)，并幫助學(xué)生去感知和記憶理論與抽象知識(shí)，從而促進(jìn)能力的發(fā)展.按照這一規(guī)律，得出如下關(guān)于初中數(shù)學(xué)幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)方案.

2.1 重視圖形探究

解決幾何問(wèn)題過(guò)程中，若想合理地利用幾何直觀(guān)，需要將所要解決的問(wèn)題，即題目的作答對(duì)象轉(zhuǎn)化成圖形，再通過(guò)問(wèn)題與圖形信息之間的分析，從直觀(guān)到抽象進(jìn)行升華，形成對(duì)作答對(duì)象的準(zhǔn)確理解，最終結(jié)合直觀(guān)圖形以及抽象的數(shù)學(xué)解題思維解決問(wèn)題.

圖1

例1如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,5)，B(1，2)，C(4,3).(1)若將y軸作為對(duì)稱(chēng)軸，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出△ABC的對(duì)稱(chēng)圖形，并記作△A′B′C′；(2)寫(xiě)出△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分析兩個(gè)三角形頂點(diǎn)之間的關(guān)系.

題中給出了直觀(guān)的圖形，要求學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作在直角坐標(biāo)系中獲得新的三角形，這種問(wèn)題的設(shè)置主要目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)對(duì)稱(chēng)變化、軸對(duì)稱(chēng)概念以及具體特征的理解，使學(xué)生能夠在實(shí)踐操作中逐步摸索出三角形在直角坐標(biāo)系中頂點(diǎn)的變化規(guī)律以及圖形變化規(guī)律，并且使這種變化關(guān)系更加直觀(guān).這種思維的形成便于學(xué)生理解與分析圖形中隱藏的方向上的變化，直觀(guān)地獲取整個(gè)變化過(guò)程，使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單，提高解題效率與準(zhǔn)確性.

2.2 注重圖形積累

通過(guò)對(duì)幾何圖形的分析可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)圖形的組成均具有基礎(chǔ)的圖形元素.當(dāng)看到復(fù)雜的幾何圖形時(shí)，應(yīng)保持理性、客觀(guān)的態(tài)度，觀(guān)察圖形、分析圖形、拆解圖形，將圖形分解成若干個(gè)子圖形，總結(jié)其中蘊(yùn)含的基礎(chǔ)圖形元素，逐一分析每個(gè)基礎(chǔ)圖形的特征.這對(duì)高效解決問(wèn)題有著重要幫助，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀(guān)能力的方法之一.教師在教學(xué)過(guò)程中遇到幾何圖形，需要有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察與總結(jié).

圖2

例2如圖2所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上一點(diǎn)，連接AF與BE相交于點(diǎn)G，并延長(zhǎng)BE與邊CD，使其相交于點(diǎn)H.試找出圖中的相似三角形.

分析：該題目是完成相似三角形知識(shí)學(xué)習(xí)后的常見(jiàn)題型，意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相似三角形判定等知識(shí)的掌握.此類(lèi)題目基礎(chǔ)、簡(jiǎn)單，為快速解題，通常需要利用幾何直觀(guān)進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.快速解題的關(guān)鍵則是將三角形基本圖形印刻在腦海中.在日常學(xué)習(xí)中，教師可與學(xué)生總結(jié)常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形，如圖3所示.

A型圖

X型圖

垂直型

2.3 鼓勵(lì)合理猜想

在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，準(zhǔn)確理解幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征以及角、邊、線(xiàn)之間的關(guān)系是解題時(shí)做出準(zhǔn)確判斷的基礎(chǔ)，對(duì)激發(fā)學(xué)生解題欲望也有著重要作用.而幾何直觀(guān)能力則是不斷通過(guò)對(duì)直觀(guān)圖形的分析，以及對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而形成幾何思維.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不免會(huì)出現(xiàn)猜想或直接思維，教師應(yīng)予以保護(hù)，并引導(dǎo)與幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的思維.

圖4

例3如圖4，在△ABC中，∠BAC的平分線(xiàn)與∠ABC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE與△ABC外接圓相交于點(diǎn)D，依此連接CE，CD，BD，現(xiàn)已知∠BDC=120°，∠BDA=60°.試判斷四邊形BDCE的形狀.

學(xué)生在分析題目后憑借直覺(jué)判斷四邊形BDCE為菱形.沿著學(xué)生猜想的思路根據(jù)菱形定義進(jìn)行驗(yàn)證，則可作出準(zhǔn)確判斷.因此，學(xué)生僅需證明圖形有一組鄰邊相等或四邊相等即可.通過(guò)這種直觀(guān)的猜想能夠幫助學(xué)生快速找到解題思路，簡(jiǎn)化了分析與解題過(guò)程.

2.4 引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)中幾何題目更加復(fù)雜，往往融合不等式等知識(shí)點(diǎn)，該類(lèi)型題目通?？芍苯哟虢忸}，但實(shí)踐證明直接代入會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜計(jì)算，從而很多學(xué)生因計(jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.基于數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形輔助解題，通常可獲得事半功倍的效果.

圖5

基于所學(xué)公式在坐標(biāo)系中畫(huà)出式子所對(duì)應(yīng)的函數(shù)示意圖后，可以快速找到解題突破口，這種方式則是將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)通過(guò)圖象進(jìn)行直觀(guān)化表現(xiàn)，是對(duì)學(xué)生幾何直觀(guān)能力實(shí)踐操作的重大考驗(yàn).

學(xué)生幾何學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)并非是一蹴而就的，且?guī)缀文芰哂芯C合性特征，需要做好每項(xiàng)能力的培養(yǎng)才能實(shí)現(xiàn)整體能力的進(jìn)步.幾何直觀(guān)能力則是數(shù)學(xué)幾何能力的重要組成部分，是學(xué)生理解圖形、分析圖形的基礎(chǔ).因此，針對(duì)當(dāng)前初中生幾何直觀(guān)能力培養(yǎng)的誤區(qū)與問(wèn)題，結(jié)合筆者工作經(jīng)驗(yàn)制定了培養(yǎng)方案，以期為初中數(shù)學(xué)教師提供有益借鑒.